La somme des chiffres

[Dacu]

Bonjour à tous,

Soit et la somme de ses chiffres , la somme des chiffres de et la somme des chiffres de .Quelle est la valeur de la somme des chiffres de ?

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

Je dirais 7. C < 14 et C = -1 [8].

[nodgim]

Non, planté, c'est 7^7^7^7qui vaut -1 [8] et non pas C.

[nodgim]

La réponse est 7 tout de même.
7^n = 7 [9] si n = 1 + 3k. Or 7^7^7 = 1 [3].
Donc 7^7^7^7 = 7 [9] et donc C également, et comme C<14, alors C = 7.

[Pseuda]

Bonjour,

Comment obtiens-tu C<14 ?

N a moins de 290 chiffres, donc A < 2610, B < 28, C < 10. Je trouve aussi C=7.

[Ben314]

Salut,

N a moins de 290 chiffres

J'ai plus que de gros doutes....
Le nombre de chiffre de est, à une unité prés, .
Donc au pire, la somme des chiffres de vaut qui à chiffres.
Donc la somme des chiffres de , est un nombre dont le nombre de chiffres est de l'ordre de 696 000....

[Pseuda]

Oups, j'ai eu la flemme... Mais du coup j'apprends que Excel fait (évidemment) ses opérations de gauche à droite. Sans parenthèses, pour 7^7^7^7, il calcule ((7^7)^7)^7 au lieu de 7^(7^(7^7)), ce qui fait évidemment beaucoup plus.

Reprenons. . Au pire, la somme de ses chiffres et au pire (sauf erreur, pas trop le temps). Cela fait plusieurs solutions encore congrues à 7 modulo 9.
En prenant une moyenne de 4,5 pour les chiffres (au lieu de 9), cela fait . Donc C serait égal à 25 ou 34 (il est congru à 7 modulo 9). Ce ne serait pas la bonne méthode.

[nodgim]

C'est bien cela, Pseuda, je suis allé 1 cran trop loin après le 59 (d'où le 14...) et donc bien plusieurs solutions possibles. Le fait de prendre une moyenne de 4,5 par chiffre ne change en effet pas grand chose au résultat.

[nodgim]

Ah non, c'est bon en fait, ce n'est pas C qui est demandé, mais la somme des chiffres de C . Il y a bien 4 étapes de log, et non 3.

[Pseuda]

Bonsoir nodgim,

Ah oui en effet, donc c'est bon, la somme des chiffres de C=7.

[Dacu]

Bonjour à tous

De "WolframAlpha" lecture:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=7%5E7%5E7%5E7

Je ne comprends pas!Quelle valeur a , ?Comment avez-vous calculé la valeur de sans connaître les chiffres de ?

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

7^7^7^7 = 10 ^ k
k = 7^7^7 ln 7 / ln 10
S(k) max = 9 * k = 9 * 7^7^7 ln 7 / ln 10 > A.

S(k) = 10 ^ j
j = ln S(k) / ln 10 = (ln 9 + 7 ^ 7 ln 7 + ln ln 7 - ln ln 10 ) / ln 10 = 695976
S ( j ) max = 9 * 695976 = 6263784 > B
S(B) < 5999999 = 59 >= C
S(C) <= 14

[Dacu]

7^7^7^7 = 10 ^ k
k = 7^7^7 ln 7 / ln 10
S(k) max = 9 * k = 9 * 7^7^7 ln 7 / ln 10 > A.

S(k) = 10 ^ j
j = ln S(k) / ln 10 = (ln 9 + 7 ^ 7 ln 7 + ln ln 7 - ln ln 10 ) / ln 10 = 695976
S ( j ) max = 9 * 695976 = 6263784 > B
S(B) < 5999999 = 59 >= C
S(C) <= 14

Bonjour,

Comment trouvons-nous que et quelle valeur a ? Merci très beaucoup!

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

S ( j ) max = 9 * 695976 = 6263784 > B
S(B) < 5999999 = 59 >= C
S(C) <= 14


B < 6263784
5999999 possède la plus forte de chiffres parmi tous les nombres < 6263784.
En raison de l'impossibilité de connaitre la valeur exacte de B, on est bien obligé de prendre en compte le nombre dont la somme des chiffres est maximale.
On ne connait pas la valeur de C, mais seulement son max.

[nodgim]

On peut généraliser ce problème avec 7^7^7^7....(n fois 7) lorsqu'on calcule n fois consécutivement la somme des chiffres, le résultat sera toujours 7.

[Dacu]

On peut généraliser ce problème avec 7^7^7^7....(n fois 7) lorsqu'on calcule n fois consécutivement la somme des chiffres, le résultat sera toujours 7.

Salut,

Vous voulez dire , par exemple , que:
- pour nous obtenons et
- pour nous obtenons , et
- pour nous obtenons , , , et
- pour nous obtenons , , , et
- pour nous obtenons , , , , et ?
À quelles valeurs de faites-vous référence?Je ne comprends pas!Dans le cas de , vous avez dit que et .

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

Quand on parle de généralisation, c'est évidemment pour toute valeur de n entier > 0 .

[Dacu]

Quand on parle de généralisation, c'est évidemment pour toute valeur de n entier > 0 .

Bonjour,

Dans le cas , de et de , il en résulte ?Je ne comprends pas!

Cordialement,

Dacu

[nodgim]

Oui, parce que, par ailleurs, on a prouvé que S(C) = 7 modulo 9. Donc, entre 7, 7+9, 7+18, 7+27,....seul 7 convient, c'est la seule valeur < 14.

[Dacu]

Oui, parce que, par ailleurs, on a prouvé que S(C) = 7 modulo 9. Donc, entre 7, 7+9, 7+18, 7+27,....seul 7 convient, c'est la seule valeur < 14.

Bonjour,

Excellent, maintenant je comprends tout!Merci très , très beaucoup!

Cordialement,

Dacu