Isomorphisme d'anneaux

[Axeldinh]

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice dans lequel je dois prouver que l’anneau quotient C[x, y]/<(x+1)(y−1)i> est isomorphe au sous-anneau de C[x] × C[y] des paires de polynômes (P(x), Q(y)) tel que P(−1) = Q(1).
J'ai d'abord pensé utiliser le premier théorème d'isomorphisme en prenant phi : C[x,y] -> {sous-anneau de C[x] x C[y]}, et en calculant son noyau. Mais je n'arrive pas à définir l'homomorphisme phi. Est- ce que vous avez des idées ?
Merci d'avance !

[Mimosa]

Bonjour

La famille pour est une base de . Ecris un polynôme sur cette base, et regarde...

PS: Dans C[x, y]/<(x+1)(y−1)i> il y a bien un i?

[Ben314]

Salut,
Sinon, concernant ta question, si tu veut construire un morphisme de dans , ce qui devrait te venir à l'esprit, c'est les applications de la forme avec fixé.
De même pour les morphisme de dans : ceux de la forme (avec fixés) semblent on ne peut plus naturels.

Et si tu prend un soupçons de recul, en fait, ces trucs, ce sont les morphismes classiques "d'évaluation" : pour fixé où tu as regardé comme du avec (ou bien comme du avec ).

[Axeldinh]

Salut,
D'abord oui effectivement il ne devrait pas y avoir de i !
Merci beaucoup pour vos réponses je crois que j'ai finalement réussi à résoudre cet exercice :
si on prend le morphisme d'évaluation on a bien P(-1) = Q(1), et il n'y a plus qu'à prouver que son noyau est c'est bien ça ?

[Ben314]

Oui (et non...)
Il faut effectivement prouver que :
(i) Le noyau c'est l'idéal engendré par (X+1)(Y-1).
(ii) L'image est contenue dans l'ensemble des couples (P,Q) tels que P(-1)=Q(1)
Mais aussi que :
(iii) Tout les couples (P,Q) tels que P(-1)=Q(1) sont atteints par la fonction (pour avoir la surjectivité de la fonction qui est bien évidement nécessaire à la bijectivité).

[Axeldinh]

Oui sinon pas de théorème d'isomorphisme encore merci !