Q - Sens de variation (Term S)

[Polth]

Coucou !

Bon j'ai un dm à faire, j'ai tout réussi sauf la premiere question (ce qui est embetant) mais heureusement le reste n'a pas trop de rapport avec cette question

donc, nous avons une fonction g(x) = 2x - racine(1+x²)
et on nous demande le sens de variation..

très bien alors j'ai calculé sa dérivée, ce qui nous donne :

g'(x) = 2racine(1+x²) - x / racine(1+x²)

Le dénominateur > 0 donc on s'occupe du signe du numérateur... sauf que là je coince, en effet le numérateur est supérieur à 0 mais je ne vois pas comment le démontrer...

(la calculatrice montre une courbe tjs croissante et donc g'(x) > 0)

Je pensais poser un raisonnement par l'absurbe en montrant qu'il était impossible que

2racine(1+x²) < x

mais ça ne me mène vraiment à rien ^^

auriez vous quelques pistes s'il vous plait ? je vous remercie d'avance :)

[Elsa_toup]

Petite question préliminaire: ton domaine de définition est-il restreint? ou est-ce tout R ? Ca pourrait nous faciliter la vie...

[Polth]

Houla oui pardon, en effet x appartient à R =)

[eraule]

Bonjour,

Il me semble que tu t'es trompé dans le calcul de la dérivée, ou dans l'expression que tu as donnée de g.

Si l'erreur est bien dans le calcul de la dérivée, refais le, normalement il n'y a pas de problème pour montrer qu'elle est positive (et même strictement).

[Elsa_toup]

Non, il n'y pas d'erreur, et j'ai trouvé une réponse possible:
Alors tu me dis où tu ne me suis plus:
x²+1 > x²
Donc racine(x²+1) > racine (x²), car racine est une fonction croissante
Donc racine(x²+1) > x
Donc 2racine(x²+1) > x (a fortiori)
Donc 2racine(x²+1) - x >0 .

Et voilà ! :we: C'est bon ? Tu as compris?

[eraule]

Ah oui pardon, tu es passé au même dénominateur !

Ce n'était vraiment pas la peine !

Plus simplement : g'(x)= 2 - x/racine(1+x²)
Il suffit de montrer que x/racine(1+x²) est inférieur à 1, ce qui ne pose pas de problème.

[Polth]

Je ne te suis plus à la fin mais sinon, bien sur que c'est ça !

Donc 2racine(x²+1) > x (a fortiori)
Donc 2racine(x²+1) - x >0 .

Là, je ne comprends pas pourquoi tu ne mets pas 2x de l'autre côté de l'inégalité ^^

(tu as toute ma reconnaissance)

Plus simplement : g'(x)= 2 - x/racine(1+x²)

Il est vrai mais pour la suite de l'exercice, il faut mettre au même dénominateur pour simplifier les calculs etc ^^

[Elsa_toup]

En fait, c'est juste que si je mets un 2 devant le x à droite, on perd l'expression que l'on veut retrouver à la fin.
Ce que je veux dire au fond, c'est 2racine(x²+1) > 2x >= x (j'imagine qu'une racine est toujours positive à votre niveau donc ça marche).
D'ailleurs, c'est exactement ce que dit eraule: moi je passe par:
racine(x²+1) > x, et lui par racine(x²+1) / x > 1.

Bonne continuation :++:

[Polth]

(j'imagine qu'une racine est toujours positive à votre niveau donc ça marche).

!!!

On nous ment encore ! lol

Merci à vous, c'est bon jvais le rédiger etc :p