Vu les tableaux de variations possible, le polynôme
admet trois racines réelles (distinctes ou pas) si et seulement si
admet deux racines réelles
avec
.
a pour discriminant réduit
donc admet deux racines réelles ssi
et dans ce cas ces racines sont
.
Ensuite, pour calculer
, le plus simple (et de loin) c'est de diviser
par
et on trouve (en posant la division)
Et le fait que
se traduit effectivement par
qui est une condition nécessaire et suffisante pour que
ait trois racines réelles (avec aussi
, bien sûr)
Après, si ça t’intéresse, la quantité
qui est un polynôme en
c'est (à un coeff. multiplicatif près que j'ai la flemme de chercher) le "
discriminant" du polynôme du 3 em degré qui est (par définition) le "
résultant" de P et P' (voir Wiki par exemple) et il y a des manières purement algébrique de le calculer en partant des coefficients du polynôme (avec des matrices en fait). Et la "règle générale" (pour un polynôme de degré quelconque à coeff. dans R, c'est que son "
discriminant", il est nul ssi le polynôme admet au moins une racine double et, s'il n'est pas nul, son signe donne des infos sur le nombre de racines réelles du polynôme.