Boîte sans couvercle
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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nodgim
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par nodgim » 26 Avr 2018, 20:10
Pour Lycéens.
Quelle est l'aire minimale de carton nécessaire pour fabriquer une boîte parallélépipédique sans couvercle de volume 1 litre ?
Je ne crois pas que l'intuition puisse beaucoup aider ici.
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Ben314
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par Ben314 » 26 Avr 2018, 21:03
Salut,
nodgim a écrit:Je ne crois pas que l'intuition puisse beaucoup aider ici.
Quoi que...
Tu prend une telle boite sans couvercle et tu pose au dessus une seconde telle boite sans couvercle, mais dans l'autre sens et tu obtient... une boite
avec couvercle de volume 2 litre dont il faut minimiser l'aire.
Cette nouvelle boite est donc bien évidement un cube de coté
donc les dimensions de la boite de départ sont
et
.
Perso, le truc que je donne aux étudiants (et que je sais pas faire qu'avec de l'intuition), c'est la boite sans couvercle et avec deux compartiments (i.e. d'aire
)
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lynux
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par lynux » 26 Avr 2018, 21:59
Soit
les dimensions de notre pavé, avec
la hauteur.
L'air de notre pavé sans couvercle est alors :
or par AM-GM :
En effet, le volume est égale à 1 donc
et donc
, finalement, l'air minimal est donc
. Le cas d'égalité est bien atteint avec les valeurs qu'a donné @Ben314.
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nodgim
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par nodgim » 27 Avr 2018, 11:35
Heureusement que j'avais mentionné " Pour lycéens " .....
Étonnant la démarche de Lynux, par inégalité !
Le coup des 2 boîtes superposées n'est pas mal non plus, mais je n'aurais pas parié un penny sur le résultat avant de l'avoir vérifié.
Joli résultat aussi pour la boîte avec un compartiment, qui donne pour (h, l , L) : (h, 2h, 3h ).
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lynux
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par lynux » 27 Avr 2018, 16:12
nodgim a écrit:Heureusement que j'avais mentionné " Pour lycéens " .....
Oui justement
À moins que tu parlais à @Ben314
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nodgim
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par nodgim » 27 Avr 2018, 16:31
Au vu de tes interventions, je te croyais au delà du niveau Lycée...
Ce n'était pas demandé, mais ce serait bien aussi d'avoir les dimensions de la boîte, enfin pour maintenant la façon de les trouver.
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lynux
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par lynux » 27 Avr 2018, 16:41
Comme je l'ai dit avec les valeurs qu'à donne @Ben314 car le cas d'égalité de l'IAG à lieu ssi tous les a_i sont égaux dans le cas general ici ssi xy=2xz=2yz et avec xyz=1 on trouve bien les valeurs données.
Bon après ce n'est peut être pas avec des outils commun au lycee.
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Imod
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par Imod » 27 Avr 2018, 18:13
Bonsoir,
C'est la version 3D de l'aire de baignade maximale à périmètre donné dont la solution est le demi-carré .
Il est clair que le problème est très vite solutionné si on sait qu'à volume donné le cube est le parallélépipède d'aire minimale . Sinon on le retrouve très vite car à xyz constant xy+xz+yz est minimum quand x=y=z .
Imod
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