Boîte sans couvercle

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nodgim
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Boîte sans couvercle

par nodgim » 26 Avr 2018, 20:10

Pour Lycéens.

Quelle est l'aire minimale de carton nécessaire pour fabriquer une boîte parallélépipédique sans couvercle de volume 1 litre ?

Je ne crois pas que l'intuition puisse beaucoup aider ici.



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Ben314
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Re: Boîte sans couvercle

par Ben314 » 26 Avr 2018, 21:03

Salut,
nodgim a écrit:Je ne crois pas que l'intuition puisse beaucoup aider ici.
Quoi que...
Tu prend une telle boite sans couvercle et tu pose au dessus une seconde telle boite sans couvercle, mais dans l'autre sens et tu obtient... une boite avec couvercle de volume 2 litre dont il faut minimiser l'aire.
Cette nouvelle boite est donc bien évidement un cube de coté donc les dimensions de la boite de départ sont et .

Perso, le truc que je donne aux étudiants (et que je sais pas faire qu'avec de l'intuition), c'est la boite sans couvercle et avec deux compartiments (i.e. d'aire )
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

lynux
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Re: Boîte sans couvercle

par lynux » 26 Avr 2018, 21:59

Soit les dimensions de notre pavé, avec la hauteur.
L'air de notre pavé sans couvercle est alors :
or par AM-GM :
En effet, le volume est égale à 1 donc et donc , finalement, l'air minimal est donc . Le cas d'égalité est bien atteint avec les valeurs qu'a donné @Ben314.

nodgim
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Re: Boîte sans couvercle

par nodgim » 27 Avr 2018, 11:35

Heureusement que j'avais mentionné " Pour lycéens " .....

Étonnant la démarche de Lynux, par inégalité !

Le coup des 2 boîtes superposées n'est pas mal non plus, mais je n'aurais pas parié un penny sur le résultat avant de l'avoir vérifié.

Joli résultat aussi pour la boîte avec un compartiment, qui donne pour (h, l , L) : (h, 2h, 3h ).

lynux
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Re: Boîte sans couvercle

par lynux » 27 Avr 2018, 16:12

nodgim a écrit:Heureusement que j'avais mentionné " Pour lycéens " .....

Oui justement

À moins que tu parlais à @Ben314

nodgim
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Re: Boîte sans couvercle

par nodgim » 27 Avr 2018, 16:31

Au vu de tes interventions, je te croyais au delà du niveau Lycée...

Ce n'était pas demandé, mais ce serait bien aussi d'avoir les dimensions de la boîte, enfin pour maintenant la façon de les trouver.

lynux
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Re: Boîte sans couvercle

par lynux » 27 Avr 2018, 16:41

Comme je l'ai dit avec les valeurs qu'à donne @Ben314 car le cas d'égalité de l'IAG à lieu ssi tous les a_i sont égaux dans le cas general ici ssi xy=2xz=2yz et avec xyz=1 on trouve bien les valeurs données.

Bon après ce n'est peut être pas avec des outils commun au lycee.

Imod
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Re: Boîte sans couvercle

par Imod » 27 Avr 2018, 18:13

Bonsoir,

C'est la version 3D de l'aire de baignade maximale à périmètre donné dont la solution est le demi-carré .

Il est clair que le problème est très vite solutionné si on sait qu'à volume donné le cube est le parallélépipède d'aire minimale . Sinon on le retrouve très vite car à xyz constant xy+xz+yz est minimum quand x=y=z .

Imod

 

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