Arithméthique

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Georges10
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Arithméthique

par Georges10 » 25 Avr 2018, 04:49

Bonjour
5|2^(3n+5) + 3^(n+1) ?



Dacu
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Re: Arithméthique

par Dacu » 25 Avr 2018, 08:17

Georges10 a écrit:Bonjour
5|2^(3n+5) + 3^(n+1) ?

Bonjour,

Oui!Si , alors pour nous obtenons et pour nous obtenons .

Cordialement,

Dacu
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nodgim
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Re: Arithméthique

par nodgim » 25 Avr 2018, 08:50

Ce n'est pas parce que , pour 2 valeurs successives de n, 5 divise cette expression, que forcément elle la divise pour toutes les valeurs de n !

pascal16
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Re: Arithméthique

par pascal16 » 25 Avr 2018, 08:52

ou par récurrence.

on ne peut pas mettre en facteur et poser simplement l'HR
remplacer 2^(3n+5) par il existe k tel que 2^(3n+5) = (5k-3^(n+1)) lève le problème

Elias
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Re: Arithméthique

par Elias » 25 Avr 2018, 09:43

Georges10 a écrit:Bonjour
5|2^(3n+5) + 3^(n+1) ?



Salut,

Soit n entier naturel
donc donc

Donc
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Re: Arithméthique

par capitaine nuggets » 25 Avr 2018, 18:59

Déjà que l'énoncé est mal formulé (je trouve), je ne vois pas en quoi ce "défi" en est vraiment un...
C'est typiquement le genre d'exercice qu'on voit en TS spé maths avec les congruences (comme l'a fait Trident2) ou alors quand on découvre le raisonnement par récurrence en TS tronc commun...
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nodgim
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Re: Arithméthique

par nodgim » 25 Avr 2018, 19:01

Oui, c'est clairement un problème scolaire pur sucre.

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Re: Arithméthique

par capitaine nuggets » 25 Avr 2018, 19:03

Pur sucre ? :lol:
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Elias
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Re: Arithméthique

par Elias » 25 Avr 2018, 19:36

Je pense que Georges10 interprète mal cette section "Défis et énigmes" (c'est toujours pareil pour ses trois posts) et c'est une vraie aide qu'il demandait.

Il faudrait donc à l'avenir poster dans la section lycée ou supérieur.
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Re: Arithméthique

par capitaine nuggets » 25 Avr 2018, 19:50

D'accord ! J'avais pas du tout compris cela dans ce sens.
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Dacu
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Re: Arithméthique

par Dacu » 26 Avr 2018, 08:06

nodgim a écrit:Ce n'est pas parce que , pour 2 valeurs successives de n, 5 divise cette expression, que forcément elle la divise pour toutes les valeurs de n !

Bonjour,

Non pour toutes les valeurs de et il est donc nécessaire de spécifier que ....
L'énoncé du problème étant trop court , alors j'ai interprété dans le sens s'il y a des valeurs de pour lesquelles ...et j'ai donné deux valeurs....Par induction mathématique, il est montré que pour .

Cordialement

Dacu
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nodgim
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Re: Arithméthique

par nodgim » 26 Avr 2018, 09:22

Je ne suis pas sûr de comprendre ton argumentation, Dacu.
Qu'entends tu par " induction mathématique " ?

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Re: Arithméthique

par Yezu » 26 Avr 2018, 09:43

Induction mathématique c'est le raisonnement par récurrence.

nodgim
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Re: Arithméthique

par nodgim » 26 Avr 2018, 18:02

D'accord, mais en quoi le raisonnement par récurrence t'autorise t'il à décréter que si c'est bon pour 2 valeurs, alors c'est bon pour toutes les autres ?

Yezu
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Re: Arithméthique

par Yezu » 26 Avr 2018, 19:28

Ah pour le coup j'en ai aucune idée, j'ai juste répondu à ta question sur l'induction : je ne suis pas Dacu ^^

Mais si je relis le thread, comment je vois la chose : en gros Dacu dit que comme l'énoncé était flou, il a juste voulu donné 2 valeurs pour lesquelles ça marche. "J'ai interprété dans le sens ..." en gros il croyait que le posteur demandait simplement s'il existe des valeurs où ça marchait ...

Mais faut avouer, Dacu, que ton argumentaire était difficile à comprendre ^^

nodgim
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Re: Arithméthique

par nodgim » 26 Avr 2018, 20:03

Dans l'énoncé, il y a une question puisque " ? ". Pour le moins, il aurait fallu donner toutes les valeurs pour lesquelles c'est vrai. Dacu a tenu à préciser sa pensée, mais sa réponse n'ayant pas été convaincante, je l'ai relancé.
On s'amuse comme on peut....

Dacu
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Re: Arithméthique

par Dacu » 27 Avr 2018, 07:33

Yezu a écrit:Ah pour le coup j'en ai aucune idée, j'ai juste répondu à ta question sur l'induction : je ne suis pas Dacu ^^

Mais si je relis le thread, comment je vois la chose : en gros Dacu dit que comme l'énoncé était flou, il a juste voulu donné 2 valeurs pour lesquelles ça marche. "J'ai interprété dans le sens ..." en gros il croyait que le posteur demandait simplement s'il existe des valeurs où ça marchait ...

Mais faut avouer, Dacu, que ton argumentaire était difficile à comprendre ^^

Bonjour,

Mon argumentaire n'était pas difficile à comprendre....Par exemple dans ce cas , ma démonstration avec l'aide de l'induction mathématique est tout aussi bonne , qu'et dans le cas de la démonstration par l'induction mathématique pour le calcul de la somme .

Cordialement,

Dacu
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Re: Arithméthique

par capitaine nuggets » 27 Avr 2018, 08:51

Perso, je rejoins nodgim : déjà que c'est dur de te comprendre, je ne vois pas en quoi ce que tu as fait montre quoi que ce soit. Une récurrence se fait en deux étapes : initialisation et hérédité ; là tu parles de et de , mais qu'est-ce que cela signifie ? (C'est d'ailleurs la première fois que j'entends le mot induction pour récurrence, normalement on parle d'induction en algèbre). Tu dis "Mon argumentaire n'était pas difficile à comprendre...", c'est normal si tu comprends ce que tu veux dire, mais nous on n'est pas dans ta tête. Parler et écrire mathématiques, ce n'est pas uniquement pour soi, mais aussi pour les autres. Ce n'est pas tout de savoir faire, il faut aussi savoir transmettre. On essaye donc d'écrire en se faisant comprendre un minimum...
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Re: Arithméthique

par nodgim » 27 Avr 2018, 09:54

Le mieux, Dacu, au point où on en est, serait que tu rédiges ta preuve complète, ce sera une autre option que celle proposée (et il y en a d'autres ! ) et ça pourra être utile au questionneur.

Black Jack

Re: Arithméthique

par Black Jack » 27 Avr 2018, 18:05

Salut,

U(k) = 2^(3k+5) + 3^(k+1)

U(k+1) = 2^(3(k+1)+5) + 3^((k+1)+1)
U(k+1) = 2^((3k+5)+3) + 3.3^(k+1)
U(k+1) = 2³ * 2^(3k+5) + 3.3^(k+1)
U(k+1) = 8 * 2^(3k+5) + 3.3^(k+1)
U(k+1) = 3 * (2^(3k+5) + 3^(k+1)) + 5 * 2^(3k+5)
U(k+1) = 3.U(k) + 5 * 2^(3k+5)

Et donc si U(k) est divisible par 5, U(k+1) l'est aussi (1)

U(0) = 2^5 + 3^1 = 35, U(0) est divisible par 5
Et par (1), U(n) est divisible par 5 pour tout n de N

8-)

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