Bonjour,
Comment, en n'utilisant pas les intégrales (mais les dérivées sont admises), démontrer que la sphère est bien le solide qui optimise la surface pour un volume donné?
Je peux l'expliquer de manière logique mais je ne vois pas comment le prouver (pour info, je suis adulte et cela ne concerne donc pas un devoir que je dois rendre, il n'y a donc pas de raison de "brider" les réponses et aides éventuelles).
Je demande car c'est le sujet d'un travail d'un jeune dont je m'occupe, or il vient juste de voir les dérivées mais pas encore les intégrales.
Il m'a posé la question et si j'ai la réponse, elle n'est qu'empirique or, je me demande s'il y a une démonstration formelle à ce problème.
Le travail consiste en ceci:
- Déterminer si une cannette de coca (cylindre de 33cl) a les dimensions d'un cylindre idéal pour minimiser l'utilisation d'aluminium.
- Montrer qu'en dehors de toutes considérations pratiques (stockage, etc..), ce n'est pas la forme idéale pour minimiser au maximum la surface d'aluminium pour ce volume et expliquer pourquoi.
Pour la première partie, il suffit de déterminer l'équation contraignante (la forme du volume en terme de hauteur), la plugger dans l'équation d'optimisation (celle de la surface du cylindre), dériver cette dernière et on trouve la hauteur idéale pour le rayon idéal (et donc la surface optimale) .
Ok.
Pour la seconde question, la réponse semble être la sphère.
Reste à le prouver...
Merci pour vos commentaires.