Questions de Probas

[LonelyGuy]

Bonjour, je crée ce sujet car je suis en train de refaire un examen et plusieurs questions me taraudent :

Une "question préliminaire" : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [-a,a] pour un certain réel a > 0, dont la desnité est paire. Montrer que Esp(X)=0.
Si je fais d'après un dessin ça suffit ?

Ensuite, on a une fonctionnelle de (x,y)= (sphère de centre 0 et de grand diamètre (pour x) et de petit diamètre 1 (pour y).
Donc la densité marginale de Y est égale à

Après avoir dit que l'on peut calculer la densité conditionnelle de X pour , on me demande de dire si cette loi conditionnelle est remarquable (et après avoir calculé cette dernière pour Y=1/2) ?

Je ne comprends pas ce que veut dire "remarquable" ?
Est-ce par rapport à l'allure de la courbe ?
J'ai aucune idée !

Dans un dernier exo (bonus) on me demande de déterminer la loi de la partie entière de X1 (il n'est pas précisé ce qu'est X1, donc je suppose que c'est pour X1 entre 0 et 1 ?) puis de dire que le nombre de guichet qui se libère avant les 10 premières minutes (y avait un exercice avant où une fille nommée Alice avait son train qui partait dans 10 minutes) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres (c'est la variable Nn (N indice n) = la somme de i=1 à n des indicatrices de Xi entre [1,10])

Et à partir de ça on demande de dire quelle est la loi du couple (X1,Nn) ?
Normalement c'est une loi jointe, vu que c'est tout ce qu'on a vu il me semble. Et du coup je devrais faire le produit de deux densités ou l'intégrale double des deux densités mais je sais pas trop quelles lois elles suivent...

Si qqn pouvait m'aider.

Merci d'avance (ça prend du temps d'écrire tout ça )

[aviateur]

Bonjour
Pour ta première question un dessin ce n'est jamais inutile mais du point de vue analytique E(X) est l'inégrale d'une fonction impaire sur [-a,a] !!
Sinon on arrive pas à lire la suite (pb de symbole)

[LonelyGuy]

Le symbole que j'ai pas réussi à faire en Latex est l'indicatrice.

Ah oui merci car on intègre x f(x) or f(x) est paire donc f(-x)=f(x) mais si x'=-x alors x' f(x')=-x f(x) (et donc par définition l'intégrale d'une fonction impaire entre -a et a est nulle et on conclue, non ?)

Je n'y avais pas pensé... merci beaucoup !

[aviateur]

Oui c'est ça. Mais attention au vocabulaire que tu emploies : "par définition l'intégrale..." ce n'est pas une
définition mais une propriété.
De même ta sphère ressemble plutôt à une ellipse qu'à une sphère. D'ailleurs je me demande d'où tu sors ce vocabulaire.
Quant à "une loi remarquable", on entend par là une loi bien connue (il s'agit ici d'une loi uniforme)

Pour la suite je ne suis pas devin. On dirait que tu donnes un extrait d'exercice, mais c'est quoi l'exercice?

[LonelyGuy]

Oui c'est ça. Mais attention au vocabulaire que tu emploies : "par définition l'intégrale..." ce n'est pas une
définition mais une propriété.
De même ta sphère ressemble plutôt à une ellipse qu'à une sphère. D'ailleurs je me demande d'où tu sors ce vocabulaire.
Quant à "une loi remarquable", on entend par là une loi bien connue (il s'agit ici d'une loi uniforme)

Pour la suite je ne suis pas devin. On dirait que tu donnes un extrait d'exercice, mais c'est quoi l'exercice?

Oui c'est une ellipse, j'ai tapé trop vite

Mais comment vous savez que c'est une loi uniforme ?
C'est le quotient de la fonctionnelle sur la densité marginale de Y normalement, et j'ai trouvé qqch comme 1/(8-y^2)^(1/2) je crois. A moins que j'ai pas pris en compte l'indicatrice [-1,1] de X ?

Oui c'est un extrait car je savais pas comment prendre en photo...

[aviateur]

Bonjour
Je pense qu'à ce niveau que les choses doivent être claires. Il faut utiliser les notations de la proba et que les questions soient précises. Quand j'ai dit que c'est une loi uniforme c'est pour une réponse à une question que j'ai cru comprendre. Je ne pourrai donner des explications précises que si je suis sûr de la question, ce qui n'est pas le cas.
Donc je propose que l'on dise les math correctement en introduisant les notations comme il faut.
Alors désignons par D le domaine des tel que
L'aire de D vaut et le couple (X,Y) est une variable aléatoire dont la densité est:
(c'est à dire que le couple (X,Y) suit la loi uniforme sur D.
Ensuite la v.a Y a bien pour densité
Ensuite je suppose que la question est de donner la densité conditionnelle de (X|Y=a) avec ?
Peux tu donner la formule?

[LonelyGuy]

Bonjour, je ne sais pas comment l'écrire en latex mais c'est f(x,y) divisé par fY(y)

[aviateur]

Si c'est la densité conditionnelle de (X|Y=a) où le nombre a intervient-il?

[LonelyGuy]

Il faut remplacer y par a dans l'expression de la densité conditionnelle

[aviateur]

Ok donc tu obtien bien une densité conditionnelle constante , c'est à dire une loi uniforme.

[LonelyGuy]

J'ai essayé de mettre la photo de mon partiel en fichier joint et ça a pas marché (entity request too large ou qqch comme ça <_<)... donc on va devoir faire sans

Pouvez-vous me donner l'expression de la densité conditionnelle de X (Y=y) pour me dire comment vous savez qu'il s'agit d'une loi uniforme ?

[aviateur]

je note donc g(x|a) la densité conditionnelle de
On a
puis on simplifie et on voit bien que c'est de la forme
"une constante fois indicatrice( de x) d'un intervalle (à déterminer) , c'est bien une loi uniforme.

Je n'ai jamais su joindre un fichier. Mais en général ceux qui aident rédigent la question, c'est assez normal que celui qui pose la question la rédige aussi.

[LonelyGuy]

On trouve (sauf erreurs de ma part)
Mais comment on voit que c'est une loi uniforme, vu que l'intervalle de y c'est [-1,1] (enfin ]-1,1[ ici)
C'est quoi a et b ?
Cordialement

[LonelyGuy]

Excusez-moi d'en revenir à mon sujet, mais dois-je en conclure qu'il s'agit d'une loi uniforme sur ? Vu qu'à Y fixé, elle est constante pour tout x entre ces deux bornes. Non ?
EDIT: car j'avais effectivement pas précisé dans l'énoncé mais X est dans cet intervalle

EDIT2: en fait avec qu'on nous demande de calculer on trouve ce qui serait la loi uniforme sur après à voir comment exprimer d'une manière générale pour tout y si c'est possible...