Compréhension du théorème de Fermat sur la dérivation

[Skyleph]

Bonsoir, étant élève en seconde j'essaie d'apprendre ce qu'est une dérivation et en passant les différentes démonstrations. Cependant, il y a une parhie d'une démonstration que je ne comprends pas qui porte sur les points stationnaires de Fermat ( Si f définie sur ]a;b[ et a un sommet c appartenant à ]a;b[ et dérivable sur l'intervalle ]a ;b[, alors f'(c) = 0)

La démonstration que je ne comprends pas se trouve sur ce site dans la partie théorème sur la dérivation. :
https://fr.m.wikiversity.org/wiki/Fonct ... A9rivation

À un moment, ils disent lorsque 0<h<r
f(c+h)-f(c)/h <= 0 En considérant la limite quand h tend vers 0 par valeurs positives, on en déduit : f'(c)<=0
Ma question est : pourquoi f'(c) serait-elle inférieur ou égal à 0 et pas seulement strictement inférieur à 0 sachant que h est supérieur à 0 et qu'il tend vers 0. Comme il tend vers 0 sans jamais l'atteindre nous ne pouvons pas dire que f'(c)<=0

Merci pour vos réponses

[Pseuda]

Bonjour,

Tout d'abord, on a : f(c+h)-f(c)/h <= 0, et ce qui compte dans le quotient pour être égal à 0, c'est le numérateur.

Ensuite, par exemple, la fonction 1/x tend vers 0 quand x tend vers l'infini, sans jamais l'atteindre. Autrement dit, une fonction peut avoir en limite une valeur qu'elle n'atteint jamais.

Et enfin, qui peut le plus peut le moins : si a<0, alors a<=0 (l'inverse est faux).

[Skyleph]

Donc, par exemple si on a f(c+h)-f(c)/h on peut dire que son numérateur vaut 0 lorsque h tend vers 0 mais pas son dénominateur?

[mathelot]

Bonjour,

Tout d'abord, on a :( f(c+h)-f(c))/h <= 0, et ce qui compte dans le quotient pour être égal à 0, c'est le numérateur.
.

l'absence de parenthèses rend l'inégalité hasardeuse

[Elias]

Salut,

Ils appliquent le théorème de "passage à la limite"

Soit f une fonction définie sur un voisinage de c (nombre ou -pour / +oo)
On suppose que limite (x ->c) f(x) = l (autrement dit, f possède une limite finie en c notée l)

Et bien si pour tout x dans un voisinage de c, on a f(x) < M (où M est une constante fixée), alors on peut passer à la limite mais en passant à une inégalité large et dire que l <= M

Si on s'intéresse à la démo de ce théorème, on comprend que la limite doit être inférieure ou égal à M (il y aurait contradiction si elle était strictement plus grande que M)

Après on peut se dire "ne peut-on pas aller plus loin dans la démonstration et monter que l < M ???"

La réponse est sans appel: non à cause de contre exemple qui annoncent qu'on ne pourra jamais monter une telle inégalité.

Par exemple: f définie par f(x)= 1- 1/(1+x^2) tend vers 1 en +oo et pourtant, quel que soit x réel f(x) < 1 (alors que sa limite n'est pas strictement plus petite que 1)

[Pseuda]

Donc, par exemple si on a f(c+h)-f(c)/h on peut dire que son numérateur vaut 0 lorsque h tend vers 0 mais pas son dénominateur?

On ne peut pas dire que son numérateur "vaut" 0 lorsque h tend vers 0, car h n'est jamais égal à 0 (sinon le dénominateur vaudrait 0 et la fraction ne serait pas définie). C'est le rapport qui "tend" vers 0, mais il pourrait tendre vers 1, ou 3/2.

Par exemple, la fonction x ->(x-1)^2+3 au point d'abscisse 1. Le rapport (f(h+1)-f(1))/h est égal à h^2/h. Il n'est pas défini en h=0, il n'est pas non plus égal à 0 en h=0 (puisqu'il n'est pas défini), mais il "tend" vers 0 quand h tend vers 0 par valeurs différentes de 0.

[Pseuda]

Bonjour,

Tout d'abord, on a :( f(c+h)-f(c))/h <= 0, et ce qui compte dans le quotient pour être égal à 0, c'est le numérateur.
.

l'absence de parenthèses rend l'inégalité hasardeuse

Ah, copié-collé du posteur hasardeux.

[Skyleph]

Merci pour tous vos messages ! J'ai tout compris
Mais vous n'avez pas répondu à ma seconde question : Soit lim h-> 0 f(x) = h+x/h
Dans ce cas: peut-on considérer que le h du numérateur vaut 0 sans faire que le quotient ait un dénominateur nul ?

[lynux]

Salut,

Je ne suis pas sur de comprendre mais on peut faire comme si "il n'y a plus" de h au numérateur mais de tt façon tu ne peux pas considérer que le denominateur vaut 0. Ici si x>0 alors La limite vaut + inf
À condition d'avoir h>0 évidemment

[Pseuda]

Merci pour tous vos messages ! J'ai tout compris
Mais vous n'avez pas répondu à ma seconde question : Soit lim h-> 0 f(x) = h+x/h
Dans ce cas: peut-on considérer que le h du numérateur vaut 0 sans faire que le quotient ait un dénominateur nul ?

La limite de h quand h tend vers 0 par valeurs différentes de 0, c'est 0 (sans jamais l'atteindre). Donc au numérateur, h+x tend vers x. En bas, h tend vers 0, donc (x+h)/h (si c'est bien (x+h), car il n'y a pas de parenthèses) tend vers +/- l'infini (à condition que x soit <>0).