Dm de maths sur les suites.

[Dyoxyz]

Bonjour j'ai un DM de maths sur les suites avec une démonstration.
Le problème c'est que j'ai beau cherché je ne trouve pas la solution.
J'espère donc que quelqu'un pourra m'éclairer sur le sujet.

Voici la question:

Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r strictement positive et de premier terme u0 strictement positif.

Pour tout entier naturel n,on définit la somme : Sn = Σ (k=0;n) 1/(racine(uk) + racine(uk+1))

Démontrer que pour tout entier naturel n, Sn = (n+1)/(racine(u0) + racine(un+1))

Les nombres en rouges sont en indices.

Voila j'espère que l'on pourra m'aider.

[Ben314]

Salut,


et ça ira tout de suite mieux

[Dyoxyz]

Merci je vais essayer

[Dyoxyz]

J'ai trouvé (racine(uk+1) - racine(uk))/r
Par contre tu as dit deux fois la même chose du coup je comprends pas bien ensuite.

[Dyoxyz]

J'ai rien dit sa viens d'actualiser

[Dyoxyz]

Pour la deuxième je trouve donc (racine(un+1) - racine (u0))/r

[Dyoxyz]

Par contre j'arrive toujours pas à trouver comment faire après.

[raito123]

J'ai trouvé (racine(uk+1) - racine(uk))/r

Parfait.

deux exemples:

+

+

Ainsi de suite..., t'en deduis quelque chose?

[Dyoxyz]

Les exemples je les comprends c'est très visuel mais le problème après c'est de le démontrer avec les lettres et là j'ai beaucoup plus de mal.
Comment est ce que je dois le présenter ?
Est ce que je fais juste la somme jusqu'a Sn en mettant les pointillés, en simplifiant et en disant tout simplement qu'on retrouve bien l'expression où est ce que il y a une manière plus spécifique de présenter.

[Dyoxyz]

Sinon en fouillant un peu j'ai découvert le raisonnement par récurrence est ce c'est juste:
S0=1/(racine(u0) + racine(u1)) = (0+1)/(racine(u0) + racine(u1)) : la propriété fonctionne avec 0
Supposons Sn = (n+1)/(racine(u0) + racine(un+1)) vrai
Sn+1= Sn + 1/(racine(un+1) + racine(un+2))
Ce qui avec les expressions conjuguées
Sn+1 = (racine(un+1) - racine(u0))/r + (racine(un+2) - racine(un+1))/r = (racine(un+2) - racine(u0))/r qui est bien la seconde expression pour Sn+1

[raito123]

Sinon en fouillant un peu j'ai découvert le raisonnement par récurrence est ce c'est juste:
S0=1/(racine(u0) + racine(u1)) = (0+1)/(racine(u0) + racine(u1)) : la propriété fonctionne avec 0
Supposons Sn = (n+1)/(racine(u0) + racine(un+1)) vrai
Sn+1= Sn + 1/(racine(un+1) + racine(un+2))
Ce qui avec les expressions conjuguées
Sn+1 = (racine(un+1) - racine(u0))/r + (racine(un+2) - racine(un+1))/r = (racine(un+2) - racine(u0))/r qui est bien la seconde expression pour Sn+1

Parfait
Généralement lorsque tu le comprends visuellement et que tu te demandes si tu dois le justifier avec des pointillés, le raisonnement par récurrence peut clairement être ton ami

[Dyoxyz]

Merci