Je voulais savoir si il était possible de calculer une expression de la sorte :
ou encore ceci :
Merci d'avance !
Somme de double factorielle
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Somme de double factorielle
par lynux » 12 Avr 2018, 22:57
Bonjour,
Je voulais savoir si il était possible de calculer une expression de la sorte :!!)
ou encore ceci :!}{4^i(i!)^2})
Merci d'avance !
Je voulais savoir si il était possible de calculer une expression de la sorte :
ou encore ceci :
Merci d'avance !
Modifié en dernier par lynux le 13 Avr 2018, 23:31, modifié 1 fois.
Re: Somme de double factorielle
par pascal16 » 13 Avr 2018, 14:45
la factorielle de factorielle, c'est grand
(2*1-1)!!=(1!)! = 1!=1
(2*2-1)!!=(3!)!=6!=720
(2*3-1)!!=(5!)!=(120)!= explosion de la calculette
en dénombrement d'ensemble de fonctions, oui, y a des nombres comme ça.
(2*1-1)!!=(1!)! = 1!=1
(2*2-1)!!=(3!)!=6!=720
(2*3-1)!!=(5!)!=(120)!= explosion de la calculette
en dénombrement d'ensemble de fonctions, oui, y a des nombres comme ça.
Re: Somme de double factorielle
par pascal16 » 13 Avr 2018, 14:47
le produit des nombres de (n+1) à 2n, c'est (2n)!/n!
ta deuxième formule, il me semble l'avoir vue il y a pas longtemps
ta deuxième formule, il me semble l'avoir vue il y a pas longtemps
Re: Somme de double factorielle
par Pseuda » 13 Avr 2018, 15:25
Bonjour,
La 2ème formule pour i allant de 0 à +inf, correspond aux coefficients du développement en série entière de 1/sqrt(1-x) sur l'intervalle ]-1,1[. Et le terme de la série est égale à P(X=n) pour X qui suit la loi binomiale B(2n,1/2).
Bref, je n'ai pas la réponse.
La 2ème formule pour i allant de 0 à +inf, correspond aux coefficients du développement en série entière de 1/sqrt(1-x) sur l'intervalle ]-1,1[. Et le terme de la série est égale à P(X=n) pour X qui suit la loi binomiale B(2n,1/2).
Bref, je n'ai pas la réponse.
Re: Somme de double factorielle
par lynux » 13 Avr 2018, 16:52
@Pasacal16 Désolé, j'ai mis cette notation en pensant qu'elle était courante mais apparemment pas
tant que ça :!! \not = ((2n-1)!)!)
mais !!=(2n-1)(2n-3)(2n-5)...1)
c'est pour ça que j'arrive à la deuxième expression car :!}{4^i(i!)^2}=\sum_{i=1}^n\frac{(2i-1)!!}{(2i)!!})
Et merci quand même Pseuda
tant que ça :
Et merci quand même Pseuda
Modifié en dernier par lynux le 13 Avr 2018, 23:32, modifié 1 fois.
Re: Somme de double factorielle
par aviateur » 13 Avr 2018, 19:28
Bonjour
Pour moi= n f(n))
et puis c'est tout.
Pour moi
Re: Somme de double factorielle
par pascal16 » 13 Avr 2018, 20:32
en effet wiki dit bien que !! est le produit des nombres par pas de deux.
ie : le produit des nombres pair ou celui des nombre impaires inférieurs à n, de même parité que n, n compris.
donc ici, on cherche 1 + 1*3 + 1*3*5 + 1*3*5*7 + 1*3*5*7*9 ....
chaque terme peut s'écrire en fonction de (2i-1)!, 2^i et i! la formule diffère de la tienne : (2i)!/(i! 2^i)
voir aussi l'écriture avec la fonction gamma sur wiki
ie : le produit des nombres pair ou celui des nombre impaires inférieurs à n, de même parité que n, n compris.
donc ici, on cherche 1 + 1*3 + 1*3*5 + 1*3*5*7 + 1*3*5*7*9 ....
chaque terme peut s'écrire en fonction de (2i-1)!, 2^i et i! la formule diffère de la tienne : (2i)!/(i! 2^i)
voir aussi l'écriture avec la fonction gamma sur wiki
Re: Somme de double factorielle
par lynux » 13 Avr 2018, 20:44
Oui j'ai déjà regardé mais j'ai pas trouvé grand choses et mes connaissances sont limitées.
Pour la deuxième formule il y a un fort rapport avec la formule de Wallis, j'ai cherché aussi du côté des formules de Ramanujan mais bon...
Pour la deuxième formule il y a un fort rapport avec la formule de Wallis, j'ai cherché aussi du côté des formules de Ramanujan mais bon...
Re: Somme de double factorielle
par aviateur » 13 Avr 2018, 23:22
Rebonjour
Et bien ta seconde somme est bien de la forme)
donc cela fait)
lynux a écrit:Comment ça ?
Et bien ta seconde somme est bien de la forme
donc cela fait
Re: Somme de double factorielle
par lynux » 13 Avr 2018, 23:30
Bonjour,
Excusez-moi il y a une erreur dans l'énoncé, je ferai attention à l'avenir pour ne pas faire perdre de temps aux personnes de ce forum, c'est évidemment :!}{4^i(i!)^2})
que je recherche (l'énoncé est modifié).
Excusez-moi il y a une erreur dans l'énoncé, je ferai attention à l'avenir pour ne pas faire perdre de temps aux personnes de ce forum, c'est évidemment :
que je recherche (l'énoncé est modifié).
Re: Somme de double factorielle
par aviateur » 13 Avr 2018, 23:41
Rebonjour
Dans ce cas la somme vaut!} {4^n (n!)^2 } -1)
Dans ce cas la somme vaut
Re: Somme de double factorielle
par lynux » 14 Avr 2018, 00:01
Mais comment avez-vous trouvé cette formule ?
Merci en tout cas
Et y'a-t-il un moyen de l'évaluer en
?
Merci en tout cas
Et y'a-t-il un moyen de l'évaluer en
Re: Somme de double factorielle
par aviateur » 14 Avr 2018, 00:50
bonjour, j'ai déjà répondu à ce genre de question et trouver la solution en utilisant les fonctions spéciales mais comme je ne les utilise pas souvent cela risque de me demander du temps.
Ou alors on doit pouvoir faire apparaitre une développement sous 2 formes différentes mais il faut chercher.
Ici on j'ai simplement considérer la somme à partir de i=0 (et non i=1) et voir une récurrence simple.
Quant à la limite en c'est
Ou alors on doit pouvoir faire apparaitre une développement sous 2 formes différentes mais il faut chercher.
Ici on j'ai simplement considérer la somme à partir de i=0 (et non i=1) et voir une récurrence simple.
Quant à la limite en
Re: Somme de double factorielle
par Ben314 » 14 Avr 2018, 20:30
Salut, une preuve "élémentaire" possible :
!}{4^i(i!)^2}<br />=\dfrac{1}{4^i}\!\begin{pmatrix}2i\cr i\end{pmatrix}<br />=\text{ Coeff. en }X^i\text{ de }\left(\!\dfrac{X\!+\!1}{2}\!\right)^{\!\!2i}<br />=\text{ Coeff. en }X^n\text{ de }X^{n-i}\!\left(\!\dfrac{X\!+\!1}{2}\!\right)^{\!\!2i}\!\!\!<br />=\!X^n\left(\!\dfrac{(X\!+\!1)^2}{4X\ }\!\right)^{\!\!i})
!}{4^i(i!)^2}<br />\!=\text{Coeff. en }X^n\text{ de }\sum_{i=0}^n\!X^n\!\left(\!\dfrac{(X\!+\!1)^2}{4X\ }\!\right)^{\!\!i}<br />\!\!=\!X^n\!\dfrac{\left(\!\frac{(X+1)^2}{4X\ }\!\right)^{\!\!n+1}\!\!\!\!\!\!\!\!-1}{\ \frac{(X+1)^2}{4X\ }\ -1}<br />\!=\!\dfrac{ (X\!+\!1)^{2n+2}\!-\!(4X)^{n+1} } {4^n(X-1)^2})
^{2n+2\!\!\!\!\!\!}} {4^n(X-1)^2}<br />=\dfrac{1}{4^n}\!\sum_{j=0}^{2n+2}\begin{pmatrix}2n\!+\!2\cr j\end{pmatrix}(X\!-\!1)^{j-2}}\, 2^{2n+2-j})
^k\,2^{-k}<br />= \sum_{k=0}^{2n} \begin{pmatrix}2n\!+\!2\cr k\!+\!2\end{pmatrix}2^{-k}<br />\sum_{\ell=0}^{k}\begin{pmatrix}k\cr\ell\end{pmatrix}X^\ell(-1)^{k-\ell})
^n\sum_{k=n}^{2n}\begin{pmatrix}2n\!+\!2\cr k\!+\!2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k\cr n\end{pmatrix}(-2)\right)^{-k}<br />=(-1)^n\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{(2n\!+\!2)!k!} {(k\!+\!2)!(2n\!-\!k)!n!(k-n)!}(-2)\right)^{-k})
^n\dfrac{(2n\!+\!2)!} {(n!)^2}Q\Big(\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)\ \text{ o\`u }\ Q(X)=\sum_{k=n}^{2n}\begin{pmatrix}n\cr k\!-\!n\end{pmatrix} \dfrac{X^k} {(k\!+\!1)(k\!+\!2)})
\big)''<br />\!\!=\sum_{k=n}^{2n}\begin{pmatrix}n\cr k\!-\!n\end{pmatrix}X^k<br />=X^n\sum_{\ell=0}^{n}\begin{pmatrix}n\cr \ell\end{pmatrix}X^\ell<br />=X^n(X\!+\!1)^n)
^{\!2}Q\Big(\!-\!\dfrac{1}{2}\Big)<br />=\!\int_{-1/2}^{0}\int_x^0y^n(y\!+\!1)^ndy\,dx<br />=\!\!\!\int_{-1/2}^{0}\!\!y^n(y\!+\!1)^n(y\!+\!\frac{1}{2})\,dy<br />=\frac{1}{2(n+1)}\Big[y^{n+1}(y\!+\!1)^{n+1}\Big]_{-1/2}^{0})
\!=\!\dfrac{(-1)^n}{(n+1)2^{2n+1}}\ \text{ puis }\ <br />\sigma=\dfrac{(2n\!+\!2)!} {(n!)^2(n\!+\!1)2^{2n+1}}=\dfrac{(2n\!+\!1)!} {4^n (n!)^2 })
Sinon, évidement, une preuve c'est de démontrer la formule par récurence (c'est immédiat), mais ça explique pas d'où elle sort (d'un autre coté, dans la preuve ci dessus, une primitive de^n(y\!+\!\frac{1}{2}))
, si on connaît pas, ça saute pas forcément aux yeux...
Et si tu cherche un équivalent en +oo de
, il suffit d'utiliser la formule de Stirling.
Sinon, évidement, une preuve c'est de démontrer la formule par récurence (c'est immédiat), mais ça explique pas d'où elle sort (d'un autre coté, dans la preuve ci dessus, une primitive de
Et si tu cherche un équivalent en +oo de
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Somme de double factorielle
par aviateur » 15 Avr 2018, 22:22
Bonjour
Merci beaucoup @ben314 Effectivement ce que tu donnes comme démo est bien mieux qu'une démo par récurrence!!
Merci beaucoup @ben314 Effectivement ce que tu donnes comme démo est bien mieux qu'une démo par récurrence!!
Re: Somme de double factorielle
par lynux » 16 Avr 2018, 22:29
Bonsoir,
Merci beaucoup pour cette démo @Ben314 !
Merci beaucoup pour cette démo @Ben314 !
Re: Somme de double factorielle
par aviateur » 17 Avr 2018, 09:49
Voici ma démo en passant par la fonction Gamma où je rappelle que =\int_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t)
(quand cela a un sens) et où j'utilise la propriété bien connue
=z \Gamma(z).)
On a:
!}{4 ^n n!}=\prod_{j=1}^n \dfrac{2j+1}{2}=\prod_{j=1}^n (j+1/2)=\dfrac{\Gamma (n+1/2)}{\Gamma(1/2)}\;\;(1))
On est donc amené à calculer
}\sum_{j=0}^n \dfrac{\Gamma (j+1/2)}{j!})
}\sum_{j=0}^n \int_0^{\infty} t^{-1/2}e^{-t} \sum_{j=0}^n \dfrac{t^j}{j!} dt)
} \int_0^{\infty} t^{-1/2} [ \sum_{j=0}^n \int_t^{\infty}e^{-x} ( x^j/j! -x^{j-1}/(j-1)!) dx ] dt)
(avec la convention /(j-1)!=0)
quand j=0)
} \int_0^{\infty} t^{-1/2} \int_t^{\infty}1/n! e^{-x} x^n dx dt)
Par Fubini, il vient
n! } 2 \Gamma [n+3/2])
(le facteur 2 vient du calcul de 
)
et par ré-application de la formule (1)
!}{4 ^n (n!)^2})
On a:
On est donc amené à calculer
Par Fubini, il vient
et par ré-application de la formule (1)
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