DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

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Richard532
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DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Richard532 » 18 Avr 2018, 00:03

Bonjour,
alors voilà, je voudrais bien un peu d'aide, j'ai beau chercher, je ne vois pas comment faire cette démonstration:

on etudie la fonction .sin(x)
J'ai pu montrer qu'elle était impaire sur , qu'elle diverge en + et - infini, qu'elle est dérivable en et que .

Premier problème : f est elle dérivable en 0 ? la valeur absolue ne l'étant pas je dirais que non, mais si je fais la limite du taux d'accroissement en 0 j'ai : est ce que je peux en conclure que f' est définie en 0 et que f'(0) = 0 ?

ensuite, j'ai montré que f' est continue en 0 car pour a=0,
puis j'ai montré que f' est paire.


Second problème : on cherche où f' s'annule sur . j'ai montré que si satisfait alors ; ainsi, que f' s'annule en un seul réel, puis j'ai précisé que , mais je n'arrive pas à faire la suite :

e) On pose , montrer que (ca, c'est bon) et satisfait:

f) Soit h définie par . Montrer que h est contractante sur l'intervalle et que
Indication: on pourra établir la dérivabilité de h et l'inégalité .

g) En déduire une méthode pour calculer une valeur approchée de à 0,01 prés par défaut et donner cette valeur approchée.


Voilà, je suis totalement bloque sur les question e), h) et g).. sans parler de la réponse, je veux bien un peu d'aide. J'ai essayé de faire la f) en montrant que h est lipschitzienne sur rapport k<1 mais sans grand succès (je ne vois pas bien comment me servir de l'indication à vrai dire).
Merci d'avance à quiconque prendra le temps de lire le post ( :hehe: ) et plus sérieusement de m'aider :merci:
Modifié en dernier par Richard532 le 20 Avr 2018, 15:15, modifié 1 fois.



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raito123
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par raito123 » 18 Avr 2018, 08:06

Richard532 a écrit:
Premier problème : f est elle dérivable en 0 ? la valeur absolue ne l'étant pas je dirais que non, mais si je fais la limite du taux d'accroissement en 0 j'ai : est ce que je peux en conclure que f' est définie en 0 et que f'(0) = 0 ?
ensuite, j'ai montré que f' est continue en 0 car pour a=0,



Yes :)
f' est par contre continue car

Richard532 a écrit:Second problème : on cherche où f' s'annule sur . j'ai montré que si satisfait alors ; ainsi, que f' s'annule en un seul réel, puis j'ai précisé que , mais je n'arrive pas à faire la suite :

e) On pose , montrer que (ca, c'est bon) et satisfait:


Astuces:
1/ tan(x-pi/2) = 1/tan(x) ( que tu pourras démontrer en utilisant le fait que tan(x)=sin(x)/cos(x))
2/ reecris pour faire apparaitre tan au lieu de cosinus et sinus, on l appellera .puis transforme la definition de pour avoir en fonction de , il suffira alors de juste tout remplacer dans

Pour la e/: C'est quoi qu une fonction contractante? l'indication donnée dans l'exercice est un très bon debut
Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité

Richard532
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Richard532 » 20 Avr 2018, 01:05

Merci raito123 ! :D
Sans me donner la réponse tu as su m'aider, ça fait toujours plaisir

Edit: par contre je veux bien un peu d'aide pour la g) ^^ je vois bien qu'il faut utiliser le théorème du point fixe... Mais sans calculatrice je ne comprends pas comment donner une valeur approchée plus précise que "1/3<=z0<=1/2"...

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raito123
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par raito123 » 20 Avr 2018, 02:28

Je t'en prie, je suis la pour ca. (et desole j'ai un clavier qwerty, ca va horriblement manquer d'accent :gene: )

Plusieurs points:
+Une des consequences importantes des fonctions contractantes est: , je te laisse la demontrer et je pourrai t'aider si tu veux.

+Vu qu'on est sur [0,1] alors on peut montrer que ||z-z_0|| < 1.

+ se reecrit .

+ Ta question peut-etre reformulee en disant qu'on cherche un certain n tel que h(z)^n soit aussi une valeur approchee de z_0 a 0.01 pres, hein (remarque bien qu'on a emis aucune hypothese sur z a part qu'il est dans [0, 1]). Dans ce cas, il suffit que Je te laisse resoudre cette inequation pour trouver le bon n et aussi choisir un bon z pour trouver ta valeur approchee.
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Black Jack

Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Black Jack » 20 Avr 2018, 11:20

Salut,

Je présume que f(x) = |x|^(Pi/4) * sin(x) ... et pas ce qui est écrit dans le 2éme ligne de ton énoncé.

Tu écris "puis j'ai montré que f' est impaire." ... moi, il me semble que f' est paire.
*****
g)

Une alternative :

zo = Pi/(2Pi + 4.arctan(zo))

2.Pi.zo + 4.zo.arctan(zo)) - Pi = 0

l(zo) = 2.Pi.zo + 4.zo.arctan(zo)) - Pi (sur [0 ; 1])

l'(zo) = 2Pi + 4.arctan(zo) + 4.zo/(1+zo²) > 0 sur [0 ;1] --> l(zo) est croissante.

l(0) = -Pi < 0
l(1) = 2Pi + 4*Pi/4 - Pi = 2 Pi > 0

Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et une seule valeur de zo dans [0 ; 1] pour laquelle f(zo) = 0 (donc zo = Pi/(2Pi + 4.arctan(zo))

On peut trouver cette valeur par approximations successives (par exemple par la méthode dichotomique) puisque l est monotone sur [0 ; 1]

f(0,5) = 0,9... > 0 et donc zo est dans ]0 ; 0,5[
f(0,25) = -1,3... < 0 et donc zo est dans ]0,25 ; 0,5[
f(0,125) = ...

et ainsi de suite, en 7 étapes l'encadrement sera plus petit le 1/100 éme.

8-)

Richard532
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Richard532 » 20 Avr 2018, 15:19

Merci Black Jack j'ai corrigé ;) par contre ta méthode à beau me plaire (j'y avais pensé), je ne pense pas qu'elle convienne vraiment ... Il faut "en conclure" une methode à partir de la question précédente.

Et sinon, je te remercie aussi raito123, je vais essayer de montrer tout ca, je reviendrai pour te dire si j'ai besoin d'aide ou si j'y suis arrivé ;)

Edit: je veux bien un peu d'aide ^^
J'ai : car h est contractante.
Je prends donc: x=z, y=z0, j'ai donc:
je me dis donc qu'il faut faire une récurrence, sauf que je n'arrive pas à montrer l'héridité:

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raito123
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par raito123 » 20 Avr 2018, 16:22

Richard532 a écrit:J'ai : car h est contractante.
Je prends donc: x=z, y=z0, j'ai donc:
je me dis donc qu'il faut faire une récurrence, sauf que je n'arrive pas à montrer l'héridité:


est le point fixe de h, tu as donc ...
Ceci devrait débloquer ton hérédité
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Richard532
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Richard532 » 20 Avr 2018, 19:47

pourquoi ? enfin, je veux dire, à moins que , je ne comprends pas comment affirmer ça :/

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raito123
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par raito123 » 20 Avr 2018, 19:54

Tu peux le montrer par recurrence:

Pour n = 1 c'est bon


2eme egalite par hypothese de recurence, et la 3eme car z_0 est point fixe de h
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Richard532
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Richard532 » 20 Avr 2018, 19:55

oui évidemment ! ^^ merci

Bon, j'ai fini mon DM en laissant un blanc...
Je ne comprends pas comment faire cette récurrence..
pour le moment j'ai:


Initialisation :
OK

Hérédité : Soit tel que soit vraie. Montrons que est vraie.
(j'ai montré que )


montrons que
Voilà.. je ne vois pas comment montrer ça...

Après, j'avais aussi penser à essayer d'avoir en faisant quelque chose comme et en appliquant h des deux côté de l'inéquation..

Enfin bref. si tu as le temps de m'aider je prends ;)

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raito123
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par raito123 » 20 Avr 2018, 22:19

Richard532 a écrit:montrons que
Voilà.. je ne vois pas comment montrer ça...

Après, j'avais aussi penser à essayer d'avoir en faisant quelque chose comme et en appliquant h des deux côté de l'inéquation..



Tu as un peu l'idée mais faut la juste bien formuler: il suffit d'écrire la definition de la fonction contractante appliquée à et
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Richard532
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par Richard532 » 20 Avr 2018, 22:50

tout à fait ! ^^ j'aurais aimé y penser..
Je n'en voyais pas le bout et surtout je n'arrivais pas a avancer

En tous cas je te remercie vraiment ! :p

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raito123
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Re: DM - ANALYSE - L1 - f(x)=abs(x)^(pi/4)*sin(x)

par raito123 » 20 Avr 2018, 22:59

La prochaine fois t'y penseras ;)

Bon courage
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