Comment déterminer la nouvelle base de l'application

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Bnj07
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Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Bnj07 » 19 Avr 2018, 01:52

Bonjour à tous,

Je suis censé donner un cours de soutien et je sèche sur une question. Quelqu'un pourrait peut être m'aider?

L'énoncé est le suivant :
Endomorphisme de R4, de matrice A={(0,1,0,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,1,0)} dans la base canonique (ei) i=1 a 4.

1) Déterminer les bases du noyau et de l'image ?
Solution :
ker(f)={(0,1,0,-1),(1,0,-1,0)}
Im(f)={(0,1,0,1),(1,0,1,0)}

2) Montrer que f(e1+e3)=2*(e2+e4) et f(e2+e4)=2*(e1+e3)
En utilisant les propriétés des applications linéaires
f(e1+e3)= f(e1)+f(e3)=2*f(e1)=2*(0,1,0,1)=2*(e2+e4)
Idem pour l'autre.

3) En déduire une base B' dans laquelle la nouvelle matrice de f est B={(0,2,0,0),(2,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0)}

Et là c'est le bug.
Je n'arrive pas à faire le lien avec la question précédente. Ce que je fait se mord un peu la queue.

J'apprécierais volontiers quelques lumières.

Merci d'avance pour votre aide.



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raito123
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par raito123 » 19 Avr 2018, 05:40

soit et

Ta première égalité se réécrit f(y_1) = 2y_2 donc y_2 est dans l image de f. La même chose pour y_1 (car f(y_2)=2*y_1) et comme y_1 et y_2 sont non nuls et que (easy peasy) tu peux montrer qu'ils forment un famille libre alors ils pourront (potentiellement) former la base de Im(f). T'auras alors juste à compléter cette famille par une base de ker(f) pour obtenir une base de ton espace R4.
Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité

Bnj07
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Bnj07 » 19 Avr 2018, 19:36

Bonjour,

Merci pour ta réponse, mais je ne vois pas le rapport.
La matrice B ayant deux colonnes nulles, j'en déduit que les vecteurs de la base de ker(f) sont également des vecteurs pour cette nouvelle base que je dois trouver.

Je vois bien qu'avec une combinaison linéaire des f(ei) je peux obtenir les deux premières colonnes de B qui seront alors des combinaisons linéaires des (ei) de la première question.

Mais au moment de rédiger proprement j'ai du mal à formaliser cela proprement.

Pseuda
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Pseuda » 19 Avr 2018, 23:24

Bonsoir,

Il faut montrer :

- 1) que y1, y2, et les 2 vecteurs de ker(f) plus haut forment une famille libre, donc c'est une base de R4 (car la famille comporte 4 vecteurs)
- 2) que la matrice de f dans cette base est B, soit f(y1)=2*y2, etc...

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raito123
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par raito123 » 20 Avr 2018, 02:33

Bnj07 a écrit:Bonjour,

Merci pour ta réponse, mais je ne vois pas le rapport.
La matrice B ayant deux colonnes nulles, j'en déduit que les vecteurs de la base de ker(f) sont également des vecteurs pour cette nouvelle base que je dois trouver.

Je vois bien qu'avec une combinaison linéaire des f(ei) je peux obtenir les deux premières colonnes de B qui seront alors des combinaisons linéaires des (ei) de la première question.

Mais au moment de rédiger proprement j'ai du mal à formaliser cela proprement.

Bonjour,
Tu ne vois pas le rapport ou t'arrives pas a redige? (desole j' ai un clavier qwerty sans accent)

Comme le suggere Pseuda, il suffit de montrer que tes 4 vecteurs forment une base de R4, et enfin d'ecrire la matrice de f dans cette nouvelle base
Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité

Bnj07
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Bnj07 » 20 Avr 2018, 17:34

Bonjour,

Voici comment je comprends la question 3).
Je dois trouver une base B'(e'1, ...,e'4) de l'espace de départ telle que l'image de cette base par f soit la nouvelle matrice B=(2.e2, 2.e1,0,0)

Grace à la question 1, je connais une base du noyau (qui est dans l'espace de départ) et une base de l'image (qui est dans l'espace d'arrivée).

En regardant la matrice B : f(e'3)=f(e'4)=0
Ce qui implique que e'3 et e'4 sont des vecteurs du noyau. Ils sont donc une composition linéaire de la base trouvée à la question 1. Je peux donc prendre (0,1,0,-1) et (1,0,-1,0)

Je remarque aussi que f(e'1)=2e2= (0,2,0,0) et f(e'2)=2e1=(2,0,0,0)

Là j'aimerai faire le lien avec la question 2 mais je bloque.

@Raito : avec ton changement de variable, "f(y_1) = 2y_2 donc y_2 est dans l image de f" d'accord, mais je cherche pas une base de l'image, mais de l'espace de départ.
Si je te dis que pour moi Im(f) est dans l'espace d'arrivée et ker(f) dans l'espace de départ, tu valides?
Dans ce cas pourquoi veux tu que je démontre que la famille composée de leurs deux bases est libre?

@Pseuda : Okay pour ton point 1. Pour le point 2, f(y1)=(0,1,0,1) et f(y2)=(1,0,1,0) ce qui est différent de (2,0,0,0) et (0,2,0,0), donc y1 et y2 ne sont pas les deux vecteurs qui vont me donner B comme matrice de f.

Alors? Vous comprenez où je bloque?

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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Pseuda » 20 Avr 2018, 17:40

Bnj07 a écrit:@Pseuda : Okay pour ton point 1. Pour le point 2, f(y1)=(0,1,0,1) et f(y2)=(1,0,1,0) ce qui est différent de (2,0,0,0) et (0,2,0,0), donc y1 et y2 ne sont pas les deux vecteurs qui vont me donner B comme matrice de f.

Alors? Vous comprenez où je bloque?

Que veut dire la matrice d'une application linéaire dans une base ? Les images des vecteurs de la base s'expriment avec les vecteurs de la même base.

si f(y1)=2*y2, la 1ère colonne de la matrice de f dans la base (y1,y2,y3,y4) est (0,2,0,0).
si f(y2)=2*y1, la 2ème colonne de la matrice de f dans la base (y1,y2,y3,y4) est (2,0,0,0).

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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par raito123 » 20 Avr 2018, 17:45

Im(f) est bien dans R4 (Im(f) C R4), on est bien d'accord? f étant un endomorphisme. Donc si tu pioches des elements libres dans Im(f) , ils seront aussi libres dans R4, hein? une base de Im(f) formera alors deux elements libre de R4, t'as juste à la completer par des elements de ker(f) qui est aussi dans R4.

En gros, posons aussi , la famille (y_1, y_2, y_3, y_4) va former la base de ton espace, faut que tu démontres donc que c'est une famille libre (et vu que la dimension de R4 est 4 alors c est réglé )
Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité

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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Pseuda » 20 Avr 2018, 17:49

raito123 a écrit:Im(f) est bien dans R4 (Im(f) C R4), on est bien d'accord? f étant un endomorphisme. Donc si tu pioches des elements libres dans Im(f) , ils seront aussi libres dans R4, hein? une base de Im(f) formera alors deux elements libre de R4, t'as juste à la completer par des elements de ker(f) qui est aussi dans R4.

En gros, posons aussi , la famille (y_1, y_2, y_3, y_4) va former la base de ton espace, faut que tu démontres donc que c'est une famille libre (et vu que la dimension de R4 est 4 alors c est réglé )

Il me semble que le fait de juxtaposer 2 familles libres de 2 vecteurs ne donne pas forcément une famille libre de 4 vecteurs ?
Autrement dit, Im(f) et ker(f) ne sont pas forcément supplémentaires (bien que leur dimension s'ajoute pour donner dim E).

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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par raito123 » 20 Avr 2018, 18:13

Pseuda a écrit:
raito123 a écrit:Im(f) est bien dans R4 (Im(f) C R4), on est bien d'accord? f étant un endomorphisme. Donc si tu pioches des elements libres dans Im(f) , ils seront aussi libres dans R4, hein? une base de Im(f) formera alors deux elements libre de R4, t'as juste à la completer par des elements de ker(f) qui est aussi dans R4.

En gros, posons aussi , la famille (y_1, y_2, y_3, y_4) va former la base de ton espace, faut que tu démontres donc que c'est une famille libre (et vu que la dimension de R4 est 4 alors c est réglé )

Il me semble que le fait de juxtaposer 2 familles libres de 2 vecteurs ne donne pas forcément une famille libre de 4 vecteurs ?
Autrement dit, Im(f) et ker(f) ne sont pas forcément supplémentaires (bien que leur dimension s'ajoute pour donner dim E).

En effet, d'une manière générale cela est absolument faux, mais ici ce n'est pas le cas (Ici On peut montrer que Im(f) ker(f) = ).
Dans mon message, je precise bien qu'il faut montrer que cette famille (y_i) est libre (en utilisant la definition d'une famille libre par exemple)
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Pseuda » 20 Avr 2018, 19:27

@raito123 En effet, tu le précises bien, j'en étais restée à ton 1er message.

Bnj07
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Bnj07 » 21 Avr 2018, 01:35

Bonjour,

@Pseuda et Raito : Merci pour votre aide.

Je me surprend parfois à bloquer comme ça.Vos explications m'ont bien aidé.
Je viens de réaliser que mon blocage venait du fait que je voulais que B soit exprimée dans la base canonique de F (qui est égal à R4 ici). C'est idiot.

Or par définition pour B, les colonnes sont les vecteurs images de la base de F exprimée dans la base de F.

Finalement avec y1 et y2 telle que définis à la question 2 et avec y3 et y4 base de ker(f)
f(y1)=0.y1+2.y2+0.y3+0.y4
f(y2)=2.y1+0.y2+0.y3+0.y4
f(y3)=0 et f(y4)=0

Bref. Merci beaucoup pour vos explications et votre patience.

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raito123
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par raito123 » 21 Avr 2018, 03:10

Indeed. Tu ne cherches pas une matrice de passage mais la matrice de l'endomorphisme dans la base F.

Bon courage pour al suite :)
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Re: Comment déterminer la nouvelle base de l'application

par Pseuda » 21 Avr 2018, 12:05

De rien ! J'avais compris que ton blocage venait de là.

 

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