Abeilles et probabilités

[Valir23]

Bonjour à tous.

Voici mon problème : je suis en train de réfléchir sur un système de comptage d'abeilles par capteurs infra-rouge. Pour cela, on fait passer les abeilles par des arches, on équipe ces arches de capteurs et on compte les passages d'abeilles.
Cependant pour des questions de consommation électrique je ne souhaite équiper qu'une partie de mes arches de capteurs.
Disons que j'équipe 1/3 de mes arches, je déduirai le nombre total de passages d'abeilles en multipliant le nombre de passages enregistrés par 3.

J'aimerais calculer l'erreur moyenne que je commets ainsi, en considérant que les abeilles choisissent l'arche par laquelle elles rentrent absolument au hasard, mais j'ai toujours été une bille en proba et mes derniers cours commencent à dater. Quelqu'un pourrait-il me guider vers le bon calcul?

Jusque la, je me suis dit que si on appelle p la proportion de portes équipées de capteurs, N le nombre total de passages (inconnu), et X le nombre de passages enregistrés par les portes, alors X suit une loi binomiale de paramètres N et p. L'erreur commise est N-X/p. Mais si on prend l'espérance de ça, ça fait zéro et en même temps ça me semble logique. J'en déduis que mes connaissances de proba ont bien besoin d'un petit rafraîchissement!

[aviateur]

Bonjour
Effectivement ce que tu dis est correct. L'erreur commise, on va l'appeler M(=N-X/p) est une variable aléatoire d'espérance nulle.
Mais la façon de compter le nombre d'abeilles va te donner un nombre X/p abeilles en sachant que ce n'est surement pas le nombre exacte. L'information souhaitée serait alors de donner une fourchette dans laquelle se trouve le nombre N avec une probabilité d'erreur inférieure à quelque chose donné à l'avance.
Par exemple en déduire que N est dans un intervalle [a,b] avec une probabilité de 95%.

Cela est équivalent à trouver tel que avec une probabilité de 95%

[Valir23]

Oui c'est tout à fait ce que je recherche. Le souci c'est que c'est une probabilité difficile à calculer avec la loi binomiale !

[aviateur]

Bonjour
Dans la pratique on approxime la loi binomiale par la loi normale pourvu que N et p vérifie certains critères que je ne connais pas bien mais que l'on doit trouver un peu partout. A mon avis c'est le cas ici.
Alors on va dire que X suit la loi N(m,sigma) où m=Np (même moyenne que la loi binomiale)
et l'écart type sigma= racine[ N p(1-p)]

[Valir23]

C'est exactement ce que j'avais oublié, il suffit d'approximer la loi binomiale par une loi normale et on a les intervalles de confiance classiques!
Le qu'on cherchait alors vaut , mais c'est bien sur!


Merci beaucoup aviateur, bonne continuation!