Etude de fonction

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Hanaconda
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Etude de fonction

par Hanaconda » 15 Avr 2018, 23:54

Bonsoir à tous!
J'ai un dm que je galère à résoudre sur l'étude de fonctions et je vous serais reconnaissante si vous pouviez me prêter un coup de main. Voici l'énoncé :

f est une fonction numérique à variable réel définie par :


f(x) = 2sin() si |x| =< 1 \\
f(x) = -x + si |x| > 1


1. a. Déterminer Df.
b. Montrer que f est impaire et donner le domaine d'étude De.
2. Montrer que f est dérivable en 1 et déterminer f'(1).
3. a. Calculer
b. Etudier les branches infinies de Cf ( la courbe de f(x) ) au voisinage de +∞
4. Montrer que f est monotone sur chacun des intervalles ]0,1] et [1, +∞[
5. Etudier la concavité de Cf sur chacun des intervalles [0,1] et [1, +∞[
6. a. Donner l'équation de la tangente (T) à (Cf) au point d'abscisse
b. Déterminer le point d'intersection de (Cf) et de la demi tangente (y = 0 ; x >= 0) ( système)
7. Construire (Cf).

Merci beaucoup de bien vouloir m'y aider ( l'exercice est niveau première ).
Bonne soirée!



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Re: Etude de fonction

par Lostounet » 16 Avr 2018, 05:22

Hanaconda a écrit:Bonsoir à tous!
J'ai un dm que je galère à résoudre sur l'étude de fonctions et je vous serais reconnaissante si vous pouviez me prêter un coup de main. Voici l'énoncé :

f est une fonction numérique à variable réel définie par :


f(x) = 2sin() si |x| =< 1 \\
f(x) = -x + si |x| > 1


1. a. Déterminer Df.
b. Montrer que f est impaire et donner le domaine d'étude De.
2. Montrer que f est dérivable en 1 et déterminer f'(1).


Salut,
Ce n'est pas une fonction très facile à étudier !

Par contre, pour la 1)a c'est facile. Il suffit de regarder, pour chaque cas |x|<1 (pas de problème de définition vu que la fonction sin est définie sur R tout entier...) pour |x|>1 aucun problème non plus (le dénominateur x^2 + 2) ne s'annule jamais).

Pour b), tu peux revenir à la définition d'une fonction impaire: f est impaire si elle est définie sur un intervalle centré en 0 (par exemple sur R) avec f(-x)=-f(x) pour tout x.

Si |x|<1, f(-x) = ... = (utilise sin(-y)=-sin(y))
Si |x|>1, f(-x) = x - 9x/(x^2 + 1)= -(-x + 9x/(x^2 + 1))= -f(x)

f est impaire.

Je te laisse réfléchir à la question suivante, pour voir si f est bien dérivable en x = 1 !
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Pseuda
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Re: Etude de fonction

par Pseuda » 16 Avr 2018, 09:17

Bonjour,

Pour la question 2, tu peux commencer par montrer que f est continue en 1.

Alors f est dérivable en 1 ssi elle est dérivable à gauche en 1, à droite en 1, et que f'g(1)=f'd(1).
=> calcule f'g(1) (avec l'expression de f à gauche) et f'd(1) (avec l'expression de f à droite),
sachant que pour x>=0, tu peux enlever la valeur absolue.

Hanaconda
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Re: Etude de fonction

par Hanaconda » 17 Avr 2018, 00:01

Merci beaucoup de votre aide! Par contre, je suis arrivée à répondre aux 4 premières questions..ce sont les autres que je n'arrive pas à résoudre ( 5, 6 et 7 ) :/

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Lostounet
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Re: Etude de fonction

par Lostounet » 17 Avr 2018, 04:20

Hanaconda a écrit:Merci beaucoup de votre aide! Par contre, je suis arrivée à répondre aux 4 premières questions..ce sont les autres que je n'arrive pas à résoudre ( 5, 6 et 7 ) :/


Pour étudier la concavité d'une fonction f deux fois dérivable, as-tu vu en cours qu'on peut étudier le signe de f"?

Qu'as-tu dans ton cours comme caractérisation de la convexité/concavité? En gros comment vous faites en cours généralement, vous revenez à la simple définition ? Du style pour lambda entre [0;1], pour tout x, y ...f(lambda.x + (1-lambda)y)....
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Hanaconda
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Re: Etude de fonction

par Hanaconda » 18 Avr 2018, 04:23

Oui, j'ai bien vu cela. J'ai pu y répondre. Il n'y a plus que le 6.b. qui manque maintenant.
Merci encore!

 

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