Intégrale triple en sphérique

[Yezu]

Salut, comme vous l'auriez remarque, je pose beaucoup de questions sur tout ce qui touche les coordonnes sphériques, intégrales triples, etc. ! Ayant une semaine de révision avant mes finaux, je fais le maximum d'exercice de mon bouquin.

La je suis tombe sur un exercice qui me tourmente : l’énoncé parait très simple mais je trouve déjà qu'il est mal posé.
"D est la région comprise entre le cône et la sphère . est une fonction quelconque intégrable sur cette région. Ecrivez les bornes d’intégration sur cette région en coordonnées sphériques."

1/ je me trompe TOUJOURS quand un énoncé dit région comprise entre '......' et '....' ici, je suppose que la région est celle-ci : https://gyazo.com/d03f404b446331dfe1ff4f34072b2893, soit le truc en rouge clair sur le graphique
2/ pour le vif du travail : plusieurs questions me viennent.
Je suis habitue a des équations de cône de type . Mais le je ne vois pas trop : si le cône n’était pas rabaissée de 1, son équation aurait été , mais la j'ai essaye un truc :



Est-ce correct ? Si ca l'est les bornes d'integration pour seraient .

Pour , comme d'hab, ça serait du .

Pour , je ne sais pas si je suis fou, mais quand je fais mes relations trigonométriques pour le cone, je trouve ! Cela n'a aucun sens étant donne qu'un angle supérieur a est un cône inversé. Mais la en même temps, je me dit que si l’équation du cône dépend de , cela signifie que n'est pas constant !!! Bref je suis complètement embrouille ...

Merci à l’âme charitable qui voudra me guider sur le droit chemin.

[Ben314]

Salut,
Déjà, je te rassure tout de suite, c'est pas toi "qui te trompe" en ne sachant pas ce que signifie "la région entre ...", mais c'est le type qui a posé l'énoncé qui est un âne bâté : Autant sur R où il y a une relation d'ordre, la notion de "réel compris entre deux réels fixés" est parfaitement cohérente, autant dans R^2 ou R^3 où il n'y a pas de relation d'ordre, ben ça veut rien dire du tout.
Si un mec te dit de considérer sur la terre "la région comprise entre l'équateur et le méridien de Greenwitch ", tu pense que ça a du sens ?

Bon, après, en général, dans ce genre d'exo., le domaine en question il est borné donc parmi les 4 domaines "délimités" par tes équations (selon le sens dans lequel on met les inégalités), il y a a deux que SEMBLENT exclus (mais c'est tout sauf une certitude au sens mathématique du mot "certitude") mais concernant les deux dernier, je vois pas quel argument (forcément non mathématique) permettrait de trancher.
Bref, y'a qu'a dire que le domaine en question, c'est bien celui qui est au dessus du cône et en dessous de la sphère (ou les expressions "au dessus" et "en dessous" sont, comme à peu prés toujours dans R^3, relative à l'ordre sur l'axe des z).
Mais il faut effectivement être parfaitement conscient que c'est du "au pif complet"...

Sinon, concernant la suite, je t'inciterais plus que fortement à commencer par écrire ça :
Vu que l'énoncé est complètement ambiguë, je considère que la région dont il parle est l'ensemble des (x,y,z) tels que
AVEC DES INEGALITES et pas des égalités.
Et concernant la suite, tu ne manipule (quasiment) que des inégalités et pas des égalités.

Par exemple, si tu passe en coordonnées cylindriques, commence par écrire en toute lettres que tu pose avec et (ou un autre intervalle de largeur )
Puis que
Ce qui te donne le domaine dans lequel va varier pour connu.
Et pour trouver dans quel domaine varie tu résout évidement l'inéquation .

En bref et en résumé, tu arrivera à faire des trucs dans ce type d'exo. le jour ou tu comprendra que tes domaines, ils sont définis par des inéquation et pas par des équations...

[Yezu]

Ah ça me rassure que je ne suis pas le seul à être déstabilisé avec des "entre ..... et ....", j'ai du passé 1 bonne journée à trouver quelle était la bon volume et je ne suis toujours pas sùr ^^

Finalement l'intégrale que je trouve finalement est la suivante :

[Ben314]

Concernant ton truc, ben j'ai aucune idée de si "c'est ça ou c'est pas ça" vu que nulle part je ne voit quel est le lien qu'il y a entre et .

[Yezu]

Salut Ben, effectivement l'intégrale en cylindrique me semble bien plus simple.

Concernant mes variables :





En gros, rho cest la distance à l'origine, theta c'est l'angle dans le plan (xy) et phi c'est l'angle par rapport à l'axe des z positifs.

[Ben314]

Avec du polaire centré en :
alors (car )
Ce qui te donne le "domaine en " pour et fixés (et quelconque) qu'on détermine via le fait qu'on doit avoir

Sauf que, pour que existe, il faut que donc le terme de gauche de est négatif et l'inégalité est toujours vraie.
Donc la seule condition est , c'est à dire pour connu.
Remarque : Tes notations pour les coordonnées sphérique ne sont "pas standard" (c.f. wiki par exemple). En général, on prend plutôt celle qui correspondent à la latitude et la longitude sur la terre.

[Ben314]

Et ça, non seulement il faut absolument l'écrire, mais il faut en plus absolument préciser à quels intervalles appartiennent en particulier pour que dans la suite, tu sache dans tes inégalités ce qui est systématiquement positif et ce qui ne l'est pas forcément.

[Yezu]

Reçu; merci encore Ben !

Rho >= 0
0 <= phi <= pi
0<= theta <= 2pi

[Yezu]

Salut Ben, j'étais quelque peu absent; je peux te répondre avec beaucoup plus de contenu là.

Quand tu utilises , cette équation n'est-elle pas valable uniquement pour la partie supérieure de la sphère ? Selon moi, il semblerait que la partie de l'espace où on peut parler de "entre le cone et la sphère" c'est la partie négative de l'espace (z <= 0). Même si cette phrase est complètement dénudée de sens ... si à mon examen final, je vois ça, je vais ... me pendre.

La raison pour laquelle j'ai utilisé des égalités c'est juste pour définir l'équation sphérique du cone, soit . D'ailleurs pour m'en convaincre j'ai modélisé cette équation et ça donne exactement le cone mais également son symétrique inversé.
Pour se débarasser de ce deuxième cone, il suffit de prendre .

Je dois avouer que c'était beaucoup plus simple en cylindrique quand même ...

Concernant mes notations, c'est malheureusement celle employée par mon prof et mon bouquin (même si étant en physique, on inverse theta et phi)

[Ben314]

Quand tu utilises , cette équation n'est-elle pas valable uniquement pour la partie supérieure de la sphère ? Selon moi, il semblerait que la partie de l'espace où on peut parler de "entre le cone et la sphère" c'est la partie négative de l'espace (z <= 0).

On en a déjaà (beaucoup) parlé : de comment on donne un vrai sens mathématique à un charabia tel que "...région entre ça et ça...", c'est chacun fait comme il veut vu qu'au départ c'est dénué de sens. Par contre, a mon sens, ton il "sort d'un chapeau" vu que dans l'énoncé rien ne parle du plan .
Je te réécrit mon interprétation de l'énoncé (avec laquelle on peut être d'accord... ou pas...) :
La région en question, c'est celle qui est au dessus (en terme de z) du cône et à l'intérieur de la sphère.

Même si cette phrase est complètement dénudée de sens ... si à mon examen final, je vois ça, je vais ... me pendre.

Le mini du mini à un examen, ça serait quand même de demander au prof. de fournir un énoncé mathématiquement cohérent (donc pas comme celui là).

Sinon, j'ai fait n'importe quoi dans le précédent post vu que j'ai gardé le comme si on était en coordonnées cylindrique. Je reprend :
Avec du polaire centré en :
alors


Reste à résoudre l'inégalité qui donne

[Yezu]

Reçu Ben !

Il me semble que l'on obtient le même résultat ! Heureusement que l’énonce ne demande de calculer ça, rien que pour la fonction f(x,y,z) = 1, une primitive de , ça me semble assez monstrueux, est-ce que ça existe (analytiquement) ce machin ?

[Ben314]

Oui, il "suffit" de tout écrire en , mais c'est un peu fastidieux.

Sans parler du fait que ça me semblait plus simple en coordonnées cylindriques qu'en sphériques le bidule...