Analyse ECE

[ftrfy]

bonjour j'aimerais avoir de l'aide sur ce sujet si possible. Il s'agit d'une étude de fonctions, suite, intégrale

j'ai mis l'énoncé puis là ou je bloque et la correction de l'exercice




pour la partie I:
énoncé:






pour la 1b) je trouve f'' positive
donc f' croissante
et f'(1)= 0


pour la 2) dans la correction, on me dit que f 'est négative sur 0,1 et positive sur le reste d'après le résultat précédent . Et je ne trouve pas cela.

C'est une méthode je pense?

mais pourquoi f' est négative sur O,1 et positive sur le reste ???


3) comment tracer la courbe?

4a) je dérive pour trouver u'= f''(x)-1 = e^x+e/(x^2) -1
mais comment trouver les variations et signe ???


voici la correction de la partie 1 :







PARTIE II:



suite:



6a)
je dérive g
j'obtiens g'= e^x- e/x-1

mais là aussi comment trouver les variations et signe ?


a partir de la 9a) je n'y arrive pas
comment on débute ?


correction :









PARTIE III



ok pour la 1ere intégrale
mais pour la question 11)

je passe par le calcul (comme pour la question 10 mais dans la correction ils font autre chose que je ne comprends pas :


et là 12 je ne sais pas par quoi il faut commencer.



correction :







Merci de votre aide.

[pascal16]

f''(x) = e^x+e/(x^2)
-> c'est bon
donc f' croissante
f'(1)=0
f' croissante et s'annule en x=1, elle est donc négative puis positive

mais pourquoi f' est négative sur O,1 et positive sur le reste ???
-> ne confond pas avec f qui est toujours positive.

pour x positif, x proche de 0
e^x tend vers 1
1/x tend ver +oo, donc -e/x tend vers -oo
f' est bien négative proche de 0


->pour tracer la courbe
se servir d'un tableau de valeur pour x= 1/4 1/2 3/4 1 2 3 4 5 pui faire "au mieux' en s'aidant de la calculette et des limites

pour la 4, il me semble que simplement savoir que e^x > 1+x pour x>0 suffit pour étudier u'
[edit] : je viens de lire la correction
e^x convexe => e^x au dessus de toutes ses tangentes
=> on applique ça pour la tangente en x=0, d'équation y=x+1
soit e^x >= x+1, avec égalité seulement en x=0
finalement e^x > x+1 pour x>0

[pascal16]

6a g'= e^x- e/x-1
de même que f', g' est strictement croissante (même dérivée suivante)
donc, par le théorème des valeurs intermédiaires et l'étude des limites déjà faite, on sait que g'(x)=0 a une seule solution, on ne sait pas calculer cette valeur, on l’appelle α par exemple
on sait que α>1 de part les variation de f'.
regarde le signe de g'(2) pour confirmer les signe de g' sur [2; +oo] et donc les variations de g

[pascal16]

9a étude en 2 lignes du signe 2ln(x)-x pour x >2
première inégalité.
idem avec x-e^x/3

10-> le lien vers la correction n'est pas bon.
10, je ne sais pas si un primitive de ln(x) est au programme, mais on utilise xln(x)-x

11-> e^x domine largement -eln(x), l'intégrale diverge

12 -> 1/f est bien définie et continue sur [2;+oo[, elle est donc intégrable sur tout intervalle du type[2;M], avec M >2.
1/f(x) = e^(-x)/(1-ln(x)*e^(-x)), pas vraiment de gros problème de convergence en +oo, je ne vois pas trop comment la lier au 9a


Il reste quoi comme question ?