Term S intégration exercice DM

[maxoumatheux]

Bonjour,
C'est les vacances donc c'est aussi l'occasion pour nous de faire un petit DM de maths histoire de nous occuper ! ^^
Malheureusement je suis bloqué à l'un des 2 exercices qui m'ont été distribués :
On nous donne en annexe le tracé d'une Courbe Cf de la fonction (ax+b)e^-x^2 .
On peut voir que la limite en + l'infini est 0, qu'elle est croissante sur [0;0.70] environ puis décroissante sur [0.70;+infini]. On voit aussi que f(0)=0 et on nous dit que les points A(0.5 ; 1) et B(0;-1) une fois reliés, forment une tangente a Cf au point O: on peut donc voir la croissance de f en 0 avec le coef directeur de cette tangente. La question est de trouver les réels a et b en détaillant la démarche...
Je ne vois pas la stratégie à effectuer .... on nous dit plus tard dans l'exercice que f(x)=2xe^-x^2 mais comment trouver ces réels par le calcul ? surement grâce à la représentation graphique et à cette tangente ? Merci de vous réponses

[titine]

Il me semble qu'il ya un problème.

On nous donne en annexe le tracé d'une Courbe Cf de la fonction (ax+b)e^-x^2 .
On peut voir que la limite en + l'infini est 0, qu'elle est croissante sur [0;0.70] environ puis décroissante sur [0.70;+infini]. On voit aussi que f(0)=0 et on nous dit que les points A(0.5 ; 1) et B(0;-1) une fois reliés, forment une tangente a Cf au point O

Tu dis que f(0)=0 donc la courbe passe par O(0;0)
Et d'après ce que tu dis la tangente à la courbe en ce point est la droite (AB).
Ce qui n'est pas possible car la droite (AB) ne passe pas par le point O ...

Sinon, le principe pour trouver a et b :
Tu dis que f(0) = 0
Et que f'(0) = .... (coef dir de la tangente au point d'abscisse 0)
f(0) = 0 donne (a*0+b)e^-0^2 =0 . Donc b = 0
f'(x) = .......
Donc f'(0) = ... donne .....

[maxoumatheux]

Effectivement ! je me suis perdu dans mon interprétation graphique !
On a bien f(0)=0 et c'est (OA) qui est tangente a C(f)

[titine]

Effectivement ! je me suis perdu dans mon interprétation graphique !
On a bien f(0)=0 et c'est (OA) qui est tangente a C(f)

Donc f'(0) = 2 car le coefficient directeur de (OA) est 2.
D'accord ?

Tu as compris mon explication pour b=0 ?

Maintenant, calcule f'(x)

[maxoumatheux]

Je suis d'accord, nous avons un coefficient directeur de 2 pour la tangente en 0 d'où f'(0)=2. Mais comment cela justifie que b est nul ?

f(x)=(ax+b)e^(-x^2 ) donc f est dérivable en tant que produit de fonctions dérivables et f'(x)= ae^(-x^2 )+(ax+b)*(-2xe^(-x^2 )) ou encore f'(x)=e^(-x^2 ) (a+ax+b-2x) c'est cà ?

[titine]

Je suis d'accord, nous avons un coefficient directeur de 2 pour la tangente en 0 d'où f'(0)=2. Mais comment cela justifie que b est nul ?

Non pour justifier que b=0 revois mon message plus haut !

f(0) = 0 donne (a*0+b)e^-0^2 =0 . Donc b = 0

f'(x)= ae^(-x^2 )+(ax+b)*(-2xe^(-x^2 )) ou encore f'(x)=e^(-x^2 ) (a+ax+b-2x) c'est cà ?

Non :
f'(x)= ae^(-x^2 )+(ax+b)*(-xe^(-x^2 ))
Car la dérivée de e^(-x²/2) est -xe^(-x²/2)
Car la dérivée de -x²/2 est -x

Ce qui donne f'(x) = e^(-x²/2) (a + (ax+b)(-x)) = e^(-x²/2) (a - ax² - bx)

Ok ?

Maintenant tu écris que f'(0) = 2

[maxoumatheux]

Ah merci j'avais pas vu la suite du message ! je comprends tout de suite beaucoup mieux !
Cela donne donc si je ne me trompe pas :
Sinon, le principe pour trouver a et b :
On sait que f(0) = 0
Et que f'(0) =2
D'où f(0) = 0 donne (a*0+b)e^-0^2 =0 . Donc b = 0
f'(x) = e^(-x^2 ) (a+ax+b-2x)
Donc f'(0) = e^(-0^2 ) (a+a0+0-2*0) = 1*a = a or f'(0)=2 donc a=2

[titine]

Ah merci j'avais pas vu la suite du message ! je comprends tout de suite beaucoup mieux !
Cela donne donc si je ne me trompe pas :
Sinon, le principe pour trouver a et b :
On sait que f(0) = 0
Et que f'(0) =2
D'où f(0) = 0 donne (a*0+b)e^-0^2 =0 . Donc b = 0
f'(x) = e^(-x^2 ) (a+ax+b-2x)
Donc f'(0) = e^(-0^2 ) (a+a0+0-2*0) = 1*a = a or f'(0)=2 donc a=2

Oui c'est ça , sauf que ton calcul de dérivée est faux (voir mon message au dessus) !
Mais ça donne quand même a=2 !

[maxoumatheux]

Je reste perplexe sur le résultat de la dérivée ^^
J'aurai bien utilisé cette formule : e^u(x) sa dérivée donne u'(x) * e^u(x) donc
Ainsi -x^2 sa dérivée donne bien -2x ?
D'où e^-x^2 donnerait en dérivée -2x*e^-x^2 non ?
Cordialement

[titine]

Je reste perplexe sur le résultat de la dérivée ^^
J'aurai bien utilisé cette formule : e^u(x) sa dérivée donne u'(x) * e^u(x) donc
Ainsi -x^2 sa dérivée donne bien -2x ?
D'où e^-x^2 donnerait en dérivée -2x*e^-x^2 non ?
Cordialement

Oui ! Pardon !
J'étais dans la lune !
J'ai cru que c'était e^(-x²/2) alors que c'est bien e^(-x²)
Dont la dérivée est en effet -2xe^(-x²)

[maxoumatheux]

Pas de soucis ! C'est les vacances haha
Vous m'avez bien dépanné ! merci beaucoup à vous
Bonne semaine