Dm ts integrale et suites

[Ziler26]

Bonjour a tous j ai un dm a rendre et je bloque sur plusieurs questions de l exercice 1 et 2 dont voici l enonce :
Exercice 1:
On definit la suite (Un) de la facon suivante :
Pour tout entier naturel n, Un=integrale de 0 a 1 x^n/1+x dx
1) calculer la valeur exacte de U0= integrale de 0 a 1 1/1+x dx
2) a) demontrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 + Un = 1/n+1
B) en deduire la valeur exacte de U1
3)a) recopier et completer l algorithme ci dessous afin qu il affiche en sortie le terme de rang n de la suite Un ou n est un entier naturel saisi en entree par l utilisateur.

Variables i et n sont des entiers naturels
U est un réel
Entree saisir n
Initialisation affecter a u la valeur .....
Traitement v pour i variant de 1 a .....
Affecter a u la valeur....
Fin de pour
Sortie afficher u

B) a l aide de cet algorithme on a obtenu les valeurs suivantes

N 0 1 2 3 4
Un 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098
N 5 10 50 100
Un 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite Un peut on emettre?

4)a) demontrer que la suite Un est decroissantz
B) demontrer que la suite Un est convergente
On appelle l la limite de la suite Un. Demontrer que l=0

Exercice 2

Dans un repere orthonormé d unite graphique 1cm pour pi/8 en abscisses, et 1cm pour 0,5 en ordonnees, representer les courbes y=sin x et y= cos x, et hachurer le domaine compris entre ces courbes, la droite x=0 et la droite x=pi
Calculer la valeur exacte de l aire de ce domaine en cm^2

J ai reussi la 1ere question et j ai trouve uo=ln2
Mais je n arrive pas a trouver Un+1 + Un ni a trouver u1 en utilisant un+1 + un= 1/n+1 car je ne vois pas en quoi cette formule peut m aider a le calculer.

Ensuite au 3 a je suis bloque car a l initialisation et au traitement il faut affecter a u une valeur mais je ne vois ps laquelle entrer pour le traitement

Enfin a la question 4 a pour prouver que un est decroissante j utilise un+1 -un mais le souci est que son signe est superoeur et non inferieur a 0 donc c est illogique

Et puis pour l ecercice 2 je ne comprends pas du tout ce qu il faut faire

Je vous remercie d avance pour votre aide sur toutes ces questions qui me bloquent

[Yezu]

Salut, avec des parenthèses je crois que l'intégrale serait un peu plus compréhensible.

Tu veux certainement dire :



Question 2 :


Tu as certainement une propriété de ton cours qui traite de la linéarité de l'intégrale, tu peux rassembler tous les termes dans la même intégrale tant que les bornes sont identiques.
Tu peux remarquer que :

Tu peux en déduire une factorisation assez évidente dans l'intégrale et en déduire de même la valeur de l'intégrale.
Pour trouver tu dois juste remarquer que tu as calculé à la question précédente, et tu as déterminé une relation de récurrence pour la suite .

Pour l'algorithme, tout ce qu'il fait c'est de calculer chaque terme de la suite, étant donné que l'on dispose d'une relation de récurrence pour cette dernière, chaque terme dépend de son précédent. Par quelle valeur faut-il commencer pour pouvoir définir la relation de récurrence ?
Tu dois tout affecter à u la formule de récurrence.

Question 4 :


Tu te sers encore de la linéarité, et sur l'intervalle [0,1] tu regardes le signe de ce que tu intègres, tu conclus en utilisant la proprité de positivité que tu as certainement vu dans ton cours.

Pour la convergence : théorème de convergence monotone en remarquant que est décroissante et minorée par une certaine valeur qu'il est facile de retrouver.

[Black Jack]

Salut,

Coup de main pour démarrer ...

U(0) = [ln(1+x)](de0à1) = ln(2)

U(n+1) = S(de0à1) x^(n+1)/(1+x) dx

U(n) + U(n+1) = S(de0à1) (x^n + x^(n+1))/(1+x) dx

U(n) + U(n+1) = S(de0à1) x^n.(x + 1)/(1+x) dx

U(n) + U(n+1) = S(de0à1) x^n dx = 1/(n+1) * [x^(n+1)](de0à1)

U(n) + U(n+1) = 1/(n+1)

[Ziler26]

Merci pour vos réponses, je crois avoir compris le début jusqu'à la question 1)b, parce que tu me dit de remarquer d'avoir calculer U0, ça je suis d'accord, c'est ce que je m'étais dis sauf que je n'ai pas aboutit parce que je n'avais pas de relation de récurrence à utiliser, je n'ai que la forme explicite de la fonction, et là tu me dis que j'en ai déterminé une mais je ne vois pas où, à aucune des 2 questions je ne trouve de relation faisant apparaitre U0. Donc là il y a un truc que j'ai raté

[Yezu]

Merci pour vos réponses, je crois avoir compris le début jusqu'à la question 1)b, parce que tu me dit de remarquer d'avoir calculer U0, ça je suis d'accord, c'est ce que je m'étais dis sauf que je n'ai pas aboutit parce que je n'avais pas de relation de récurrence à utiliser, je n'ai que la forme explicite de la fonction, et là tu me dis que j'en ai déterminé une mais je ne vois pas où, à aucune des 2 questions je ne trouve de relation faisant apparaitre U0. Donc là il y a un truc que j'ai raté

On a :

[Ziler26]

Ah, c'est juste ça la formule de récurrence, ok je cherchais quelque chose de beaucoup plus compliqué

[Ziler26]

Merci, j'ai finalement réussi à répondre à toutes les questions hormis celle de l'algorithme pour l'instant mais je reste bloqué sur le second exercice, car pour calculer l'aire du domaine, mon professeur affirme qu'il faut distinguer 2 intervalles, hors pour moi, il suffit de calculer l'aire hachurée qui forme un rectangle soit pi en abscisses * 1 en ordonnée, mais je doute que ce soit ça, ça semble trop simple et je n'ai qu'un intervalle et non 2?