Double intégrale aux bornes troubles

[Ombre31]

Bonjour !

Toujours dans mon histoire de moment quadratique (voir ce sujet pour les curieux), j'ai essayé de repartir sur la formule de base, à savoir : dxdy

Seulement voilà, dans le cas où la section rectangulaire a ses côtés parallèles aux axes x et y, c'est facile (les bornes sont alors constantes), mais dès que l'on fait basculer cette section d'un angle , c'est tout de suite moins facile... comme sur l'image ci-dessous.



Je sais que les bornes en Y sont de la forme [ x*tan - - ], elles dépendent de x. Mais elles n'ont pas les mêmes bornes pour x !

EDIT : Pour moi les bornes en x dépendent de Y et sont de la forme [ -y*tan -CSTE ; -y*tan + CSTE]. Mais du coup, j'ai co-dépendance des intégrales...
EDIT 2 : le dessin était pas bon, j'ai une symétrie par rapport à l'origine normalement, désolé... j'ai modifié, maintenant c'est bon

Voilà, j'espère avoir été clair sur mon problème

[pascal16]

l'intégrale double faite en 2 fois c'est
-> une intégrale sur y, avec x constant (le bornes peuvent alors dépendre de x)
-> une intégrale sur x (de -/+ cos alpha * longueur/2 + sin alpha *e/2)
soit le contraire (une sur x puis une sur y)
ta première formule me semble juste, mais il y a un problème à chaque 'bout'

[Ben314]

(re)salut,
C'est là qu'on voit que les changement de variables dans les intégrales, c'est quand même on ne peut plus utile...
(et sinon, tu as acheté un tasseau pour voir ce que ça donne "intuitivement parlant" ?)
(vu que je persiste concernant le fait que, "intuitivement parlant", ça me semble pas du tout anormal que ça dépende pas de l'angle et qu'à mon avis, si ton intuition va à l'encontre de ça, j'aurais tendance à en déduire que tu n'a pas souvent manipulé de tasseaux ou autre objet de section carrée)

[Ombre31]

Re-salut Ben,

J'ai pas acheté de tasseau (j'ai pas de voiture, ramener un truc pareil à vélo ça serait drôle à voir mais pas évident. Mais je suis maintenant presque convaincu que mon intuition était fausse).

Faire un changement de variable, c'est ce qu'ils ont fait pour avoir la démo de la rotation du moment quadratique (voir les liens dans mon autre sujet), j'aurai aimé m'en passer (rester le plus "brut" possible, le faire de façon bourrine quoi).

Du coup, si je comprend bien Pascal, c'est impossible de faire une double intégrale tel quel ? On est obligé de passer par le changement de variable ?

[pascal16]

Je sais que les bornes en Y sont de la forme [ x*tan - - ], elles dépendent de x. Mais elles n'ont pas les mêmes bornes pour x !

là tu es dans un calcul ∫(∫y² dy)dx (donc pas comme sur mon dessin)
les bornes ∫y² dy dépendent de x
les bornes de ∫(calcul fait )dx ne dépendent que de la longueur, la largeur et l'angle, se sont des constantes (l'abscisse des points min et max de la figure, là où change la formule des bornes)

le calcul ∫(∫y² dx)dy est un peu moins lourd à écrire, mais aussi compliquée au final
∫(∫y² dx)dy = ∫y² (∫dx)dy = ∫y² (intégrale facile qui ne dépend que de ta seconde formule des bornes)dy
les bornes de ∫( y²*calcul précédent)dy ne dépendent que de la longueur, la largeur et l'angle, se sont des constantes (ordonnée des traits verts)

pour la zone verte, se sont les bornes d’intégration qui changent. La limite n'est plus symétrique, il faut sortir des formules un peu plus compliquées

[Ombre31]

Oui, c'est aussi ce que j'avais fait au début, en négligeant les zone vertes... mais sur des valeurs d'angles tel que 0° (par exemple), ça ne marche plus...

L'idée de base sur laquelle j'étais parti, c'était qu'on a 4 segments, donc 8 extrémités pour une intégration double (4 bornes donc). Mais comme ces extrémités sont confondues deux par deux, ça revient à avoir 4 extrémités au final.

4 extrémités, 4 bornes d'intégrations... me suis dit que y'avait surement moyen d'exploiter ça. J'ai tort ?

[pascal16]

Comme dit Ben : le changement de variable est plus rapide

Avec la section rectangulaire, cette fois tu as bien une formule non symétrique qui fait que la formule de changement d'angle va te donner une solution sympa.

[Ombre31]

Ce qui revient à faire exactement la même chose que la démo de iutenligne.net, hum...

J'avoue que c'était plus de la curiosité mathématique (trouver une méthode alternative à celle du changement de variable) qu'un véritable problème au stade où j'en suis, vu que je me suis enfin convaincu de la justesse de la formule de rotation du moment quadratique.

Bref, merci à tous pour vos réponses, et naturellement si quelqu'un a une autre idée que le changement de variable, je suis tout ouïe

[Ben314]

Si tu veut vraiment t’entraîner à faire des paramétrisation et vérifier le résultat dans un cas particulier, je pense que si tu prend un angle de 45°, ça reste "assez jouable" de calculer l'intégrale sans faire de changement de variable.
Pour un angle quelconque, c'est évidement faisable aussi, mais ça commence à être franchement "très lourd" à écrire (et il faut sûrement distinguer différent cas de figure selon l'angle)

[pascal16]

Hier soir, j'ai repensé aux bases de l'intégrale : on l'a inventé en découpant en bandes des surfaces pour trouver une formule de calcul d'aire par une autre méthode.

Dans le cas spécifique où on intègre "1" sur x, on a, il me semble, le droit de redresser la surface selon cet axe.
Tu as du voir ça dans ton calcul de la région 'facile', une fois intégrés, des termes s'annulent 2 à 2

on peut donc intégrer comme sur la figure de droite :



et hop, plus de bornes difficiles, même les 'triangles' ne sont plus des mélanges de L-e-sin-cos.

[Ombre31]

J'y ai pensé aussi, mais le raisonnement en terme d'aire n'est pas bon puisque j'intègre en y^2. Si j'intégrais uniquement y (un calcul d'aire quoi), pas besoin de se soucier des bornes, on fait tourner la figure jusqu'à ce qu'elle soit droite et hop ! On a l'aire.

Mais dès qu'on intègre autre chose... Dire que "intégrer cette figure, c'est pareil qu'intégrer celle-là", faut encore le démontrer

[pascal16]

Dans le cas spécifique où on intègre "1" sur x

en fait c'est par ce que

ce qui est faux sur l'axe y, car on a y² qui n'est pas constant

b= e/sinθ
sinθ n'est jamais nul, car en dessous d'une certaine valeur, il ne reste que les deux triangles, la formule change.

[Ombre31]

Ah, je vois ! Mais je ne suis pas sur que cela marche car mon intégrale en x n'est pas constante ! En effet, si j'intègre en premier selon Y (dont les bornes dépendent de x), je trouve une expression dépendante de x... que je dois intégrer selon x aussi. Mais l'intégrale selon x a des bornes dépendantes de Y... du coup j'avais pas le droit d'intégrer selon Y...

Bref on tourne en rond

[Ben314]

Salut,

J'ai pas bien compris ce que répondait pascal16 dans son dernier message, mais son coup de "décaler" le domaine comme sur sa figure c'est parfaitement licite :
L'intégrale sur le rectangle de , tu peut l'écrire sous la forme où, pour chaque , l'intervalle est celui dans lequel varie pour ce là.
Sauf que ne dépend en fait que de donc tu as pourvu que ce qui signifie bien que tu peut "décaler les segments horizontaux" comme bon te semble, modulo de rester sur la même horizontale (i.e. avec constant) et de garder la même largeur d'intervalle. Et c'est bien ce qu'il a fait avec son dessin de droite.

Mais bon, c'est vrai que ça change que dalle sur la façon de mener les calculs vu que de toute façon, ce que tu va écrire c'est que

[Ombre31]

Oui mais le soucis, c'est que le Y0 que tu as défini dépend de x, comme je l'ai indiqué dans mon premier message. J'ai quitté la prépa il y a un moment donc je me souviens plus exactement, mais il y avait quelque chose à faire pour vérifier que



En fait on se reptrouve avec une intégrale de la forme

Avec [c(x), d(x)] les bornes en Y, [a(y), b(y)] les bornes en X, du coup tu ne peux pas séparer les intégrales puisqu'elles sont co-dépendantes l'une de l'autre... non ?

[pascal16]

le Yo est la base du triangle vert, il ne dépend que de la largeur, l'épaisseur et de l'angle, pas de x.

Pour Ben :
voir méthode des indivisible de Cavalieri
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles

[Ben314]

Oui mais le soucis, c'est que le Y0 que tu as défini dépend de x

Bien sûr que non : sur le dessin, c'est l'ordonnée du point le plus bas du rectangle et ça ne dépend évidement ni de x, ni de y.

En fait on se reptrouve avec une intégrale de la forme

Ca, au niveau écriture (et quelque soit le contexte), c'est complètement dénué de sens : quand tu as une intégrale (simple dans R) du style , le x qui apparaît là dedans, c'est une "variable muette" et le seul endroit où ça a du sens d'écrire un (ou des) x, c'est entre le symbole et le symbole dx.
Donc ça ou ça ou ça , ça n'a absolument aucun sens : tu ne peut évidement pas écrire que le y varie entre je sais pas quoi et je sais pas quoi qui dépend de x alors que le x pour le moment, il n'existe pas !!!!!

[Ben314]

[/quote]
Sur ce dessin en considérant que l'angle fait 45°, que la longueur du rectangle est et la largeur alors les 4 coins du rectangle on pour coordonnées (-1,-3) ; (-3,-1) ; (3,1) ; (1,3).
Donc , il varie entre et puis,
- Lorsque entre et on a qui varie entre et .
- Lorsque entre et on a qui varie entre et .
- Lorsque entre et on a qui varie entre et .
Donc ton intégrale, c'est où et
Et pour la calculer, ben tu l'écrit comme ça :

Et tout ce qu'il y a en rouge, c'est bien évidement des constantes et pas des truc qui dépende d'un soit disant qui pour le moment n'a aucune valeur !!!!

[Ombre31]

Désolé, je réponds avec une petite dizaine de jour de retard...

Effectivement, ça m'a l'air d'être une bonne façon de faire. Reste à généraliser pour tout angle mais ça ne devrait pas trop être un problème... a priori (J'vais essayer de ne plus parler trop vite cette fois).

Merci à tous ceux qui ont réfléchi sur ce petit sujet ! Z'êtes super !