Exercice sur les suites

[neptik]

Bonjour, j'ai un exercice sur les suites mais je bloque totalement par manque d'entraînement....

Voici l'énoncé : Soit une suite de nombres réels. On suppose que la suite est convergente vers 1.
a) La suite est-elle convergente ?
b) On suppose de plus que est monotone. Est-elle convergente ?
c) On suppose que la suite n∈N est convergente. Vérifier que sa limite est 0 et démontrer que la suite est convergente.
il me semble qu'il faut passer par la définition de la convergence avec les epsilon ?
merci d'avance pour votre aide

[neptik]

pour la première question, en considérant la suite définie par, pour tout n, x_n=(-1)^n, je montre que ce n'est pas le cas mais ensuite pour le reste des questions je bloque toujours

[Elias]

Ok pour la1).

Pour la 2), il faut savoir qu'une suite monotone est soit convergente ou soit elle tend vers +oo ou -oo

Plus précisément, une suite croissante est soit convergente (c'est lorsqu'elle est majorée) soit elle tend vers +oo (c'est lorsqu'elle n'est pas majorée)

Et une suite décroissante est soit convergente, soit tend vers -oo.


Donc ici, ta suite (x_n), si tu supposes que sa limite est +oo ou -oo, qu'en déduis tu pour (x_n^2) ?

Sachant que (x_n^2) est convergente, que peut-on en déduire ?

[neptik]

si (x_n) est divergente, alors (x_n^2) l'est aussi donc (x_n) ne peut pas être divergente, (x_n) converge
merci beaucoup, pouvez vous m'aider pour la suite?

[Elias]

Non, si (x_n) est divergente, alors (x_n^2) ne l'est pas forcément.

Tu as donné toi même un contre exemple avec x_n = (-1)^n

Par contre, ce que tu as du vouloir dire, c'est que si (x_n) tend vers +oo ou -oo, alors (x_n^2) tend vers +oo donc diverge.

Pour la question 3), on suppose toujours que (x_n) est monotone?

[neptik]

oui c'est ce que je voulais dire, j'y suis allé un peu vite...
C'est ce qu'on veut démontrer. On a (x_{n+1}-x_n) convergente et (x_n^2) convergente en hypothèses.

[Elias]

On peut remarquer que pour tout n,on a :



Comme converge, converge vers la même limite et donc converge vers 0.

On note la limite de

Si on suppose dans un premier temps que possède une limite (donc m nombre reel ou m valant +oo ou -oo), alors, par passage à la limite on a :



Si m vaut +oo ou -oo, ça oblige à avoir l = 0. En effet si l est different de 0, alors vaudra +oo ou -oo selon le signe de l.
Donc l = 0 (et ça nous donne une forme indeterminée mais on s'en fout car on aboutit à l = 0)

Si m vaut 0, ça veut dire quetend vers 0

Mais alors, tend vers 0+l=l donc tend vers l/2 et donc tend aussi vers l/2

Donc du coup tend vers l et donc l = 0



Si maintenant n'a pas de limite.

Si on suppose l différent de 0, alors à partir d'un certain rang, les termes sont tellement proches de leur limite qu'ils sont non nuls eu on peut donc écrire à partir d'un certain rang :



Or, ce quotient tend vers 0/l = 0 et cela contredit le fait que n'a pas de.limite.

D'où l=0


Donc dans tous les cas, l = 0


Je pense qu'il est possible de faire plus simple

Tu peuw essayer de terminer en montrant que maintenant, (x_n) est forcément convergente

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour la b), on peut dire aussi que (x_n^2) est convergente donc bornée, donc (x_n) l'est aussi.

Hum.

[Elias]

La c) est fausse avec x_n=(-1)^n ?

Non, la difference entre deux termes successifs alterne entre -2 et 2
x_(n+1) - x_n =2 (-1)^{n+1} donc (x_{n+1}-x_n) pas convergente

[Kolis]

Bonjour !
.
On suppose d'où ce qui contredit la convergence de .
Si la limite est strictement négative, on change en .

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour la c), on suppose que . Alors .
On en déduit que : et que . Donc .

[Elias]

Pourquoi ??? C'est plutôt -2x_nx_{n+1}


Pour montrer que (x_n) est convergente, il faut utiliser le fait que (x_n)^2 converge vers 1 donc (|x_n|) converge vers 1 donc pour tout epsilon > 0, il existe un rang N a partir duquel les |x_n| sont dans ]1-eps;1+eps[.

Ensuite, faut voir si x_N est plutôt proche de 1 ou de -1 (cela determinera si la suite tend vers 1 ou -1, seules limites possibles de (x_n))
Le terme x_{N+1} sera proche de x_N (a cause du fait que lim (x_{n+1)-x_n) = 0) et donc proche de 1 ou -1 à son tour
Puis par récurrence, on étend aux autres termes

[Kolis]

@pseuda !
Tu arrives donc a une limite nulle pour la suite ce qui est en contradiction avec la limite pour .

@Trident2 !
Pour la convergence de la suite c'est un peu plus délicat :
La suite est bornée et sont les seules valeurs d'adhérence et on suppose la suite divergente.
Il y a donc un nombre fini de termes entre : .
Soit tel que (convergence vers une limite nulle).
Il existe un entier tel que et ( est valeur d'adhérence).
Il existe un entier tel que (on suppose que 1 ext valeur d'adhérence) et on choisit le plus petit entier vérifiant et .
Alors il y a contradiction pour .

.............................
Plus savant : quand la suite a une limite nulle, les valeurs d'adhérence forment un intervalle dans . La divergence de la suite est alors contradictoire avec la convergence de

[Elias]

@pseuda !
Tu arrives donc a une limite nulle pour la suite ce qui est en contradiction avec la limite pour .

Salut,

En quoi c'est gênant ? Il est dans un raisonnement par l'absurde donc c'est logique qu'il aboutisse à une contradiction (en l'occurence, il y en a deux ici)

[Pseuda]

@pseuda !
Tu arrives donc a une limite nulle pour la suite ce qui est en contradiction avec la limite pour .

Je confirme ce que dit Trident2 : c'est une démonstration par l'absurde, c'est normal d'arriver à une absurdité, quelqu'elle soit : tend vers 0 en est une autre.

Sinon pour montrer que converge : (car () est bornée), donc .
Ceci veut dire qu'à partir d"un certain rang, , donc tous les termes de la suite à partir de ce rang sont de même signe (par récurrence). Comme , alors , donc selon le signe des termes, ou .

[Elias]

Pour la convergence de , si on veut faire un peu moins savant et ne pas parler de valeur d'adhérence,on peut suivre l'idée que je suggère plus haut.


Pour tout , il existe un entier tel que pour .

Ainsi, pour on a soit ou soit .

On prend ensuite un entier tel que pour (*)

Supposons que


Alors on montre que pour tout , (ce qui prouvera que la suite converge vers 1).

Par exmple, pour :

Si on a pas , alors c'est que

et donc :

, ce qui contredit (*).

Même raisonnement pour et puis on poursuis par récurrence.


Si maintenant on suppose que

Alors on montre avec les mêmes arguments que la suite tend vers -1.

Sinon pour montrer que converge : (car () est bornée), donc .
Ceci veut dire qu'à partir d"un certain rang, , donc tous les termes de la suite à partir de ce rang sont de même signe (par récurrence). Comme , alors , donc selon le signe des termes ou .

Il faut quand même dire que la suite a forcément une limite non ?
En fait, tu montres surtout que la suite n'a qu'une seule valeur d'adhérence (elle en a une car elle est bornée) et elle est unique (1 ou -1) à cause de cette histoire de signe constant.

Donc ayant une unique valeur d'adhérence, elle converge. Mais ça.nécessite de connaitre ce résultat.

[Pseuda]

Il faut quand même dire que la suite a forcément une limite non ?
En fait, tu montres surtout que la suite n'a qu'une seule valeur d'adhérence (elle en a une car elle est bornée) et elle est unique (1 ou -1) à cause de cette histoire de signe constant.

Donc ayant une unique valeur d'adhérence, elle converge. Mais ça.nécessite de connaitre ce résultat.

Pas forcément. Comme tend vers 1, si tous les termes sont positifs à partir d'un certain rang, alors à partir de ce rang, donc tend vers 1. Dans le cas contraire, elle tend vers -1.

[Elias]

En effet, autant pour moi !