Exercice d'algèbre

[omryomar]

a et b sont deux réels strictement positifs tels que : a>2b
Montrer que :

[chan79]

salut
En élevant au carré, ça se passe bien.

[omryomar]

Salut
Elever quoi ?
Merci !

[Notilix]

Salut omryomar,

Lorsque tu as une équation, ou une inéquation, et que tu veux élever au carré ton expression tu dois élever chaque membre au carré (à gauche et à droite du signe égal pour une équation par exemple).

[Ben314]

Salut omryomar,
Lorsque tu as une équation, ou une inéquation, et que tu veux élever au carré ton expression tu dois élever chaque membre au carré (à gauche et à droite du signe égal pour une équation par exemple).

Oui, enfin, modulo d'avoir bien compris que :
- Dans le cas des équations, si tu fait ça, tu risque d'avoir des "solution parasites" vu que A²=B² n'implique pas que A=B (par exemple (-2)²=2² alors que -2 et 2 sont différents)
- Dans le cas des inéquation, si tu n'a pas la certitude que les deux membres ont positif, alors c'est "du grand n'importe quoi" d'élever au carré: par exemple -3 < 2 alors qu'au carré, c'est (-3)² > 2².

Bref, comme d'habitude, on réfléchis et on écrit pas le premier truc qui passe par la tête sous prétexte que "ça fait joli".

[Notilix]

Désolé Ben, c'est vrai que j'aurais du préciser tout ça. Je voulais essayer d'aider mais je vais me contenter de recevoir de l'aide haha

[omryomar]

Voilà mon raisonnement (je ne sais pas si c'est juste !) :
J'ai comparé le carré du quotient avec le carré de 1 en calculant leur différence
(a²/(a² - 2ab + 2²)) - 1 = (2ab - 2b²)/(a² - 2ab + 2b²)
(a² - 2ab + 2b²) est strictement positif
2ab - 2b² = b(2a - 2b)
Comme a sup à 2b alors 2a est sup à 2b, donc 2ab - 2b² = b(2a - 2b) est positif
Donc (a²/(a² - 2ab + 2²)) - 1 est positif
(a²/(a² - 2ab + 2²)) est sup à 1
D'où : (a/Racine(a² - 2ab + 2²))est sup à 1

[Ben314]

Oui, c'est bon.
Mais je pense qu'avant d'élever les deux truc au carré, il faut écrire bien proprement qu'ils sont tout les deux positifs : pour 1, c'est évident et pour , ça vient du fait que est positif.

[omryomar]

Salut
Oui tu as raison Ben314
Merci

[Ben314]

En plus, j'ai oublié de finir ma phrase :
... ils sont tout les deux positifs donc ils sont dans le même ordre que leur carrés...

[omryomar]

Salut
Il me reste la 2ème partie.

[omryomar]

Je vais comparer : et
en calculant la différence de leurs carrées


=

=



=

=


Donc la différence est négative !
est inférieure à 2
D'où la racine carrée du quotient est inférieure à
Bien sur car les deux membres sont positifs !

[chan79]

=

=

Salut
il y a une erreur de signe mais tu retombes quand même sur tes pattes !

Sinon, on peut dire que la seconde inégalité équivaut à

a²<2(a²-2ab+2b²)
soit
a²-4ab+4b²>0
soit
(a-2b)²>0
Bien-sûr, il faut tout justifier ...

vrai car a>2b (inégalité stricte)

[omryomar]

Merci Chan79