Nombres complexes équation
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sweetassbaby
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par sweetassbaby » 05 Avr 2018, 18:23
Bonjouuur!
Pouvez vous m'aider pour une résolution d'une equation ?
Énoncé :
z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0
On montrera tout d'abord qu'il existe trois réels a,b et c tels que:
z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = (a-ai)(z^2 + bz + c)
Voilà merci!
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Ben314
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par Ben314 » 05 Avr 2018, 18:43
Salut,
Tu développe (a-ai)(z^2 + bz + c) puis tu regarde à quelle condition les 3 coeff. obtenus (de z^3, z^2, z et la constante) sont les mêmes que ceux de z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i.
Comme en plus tu sait que a,b,c doivent être réels, ça te fait des tonnes d'équations (6 pour être précis) dont certaines vont te donner super facilement les valeurs de a,b et c (et il suffira de vérifier que ça marche dans les autres équations).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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mathelot
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par mathelot » 05 Avr 2018, 18:55
sweetassbaby a écrit:
Énoncé :
z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0
On montrera tout d'abord qu'il existe trois réels a,b et c tels que:
z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = (a-ai)(z^2 + bz + c)
Voilà merci!
Bonjour,
il ne manque pas un z à droite ? (pour égaliser deux polynômes de degré 3)
Modifié en dernier par
mathelot le 05 Avr 2018, 19:00, modifié 2 fois.
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sweetassbaby
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par sweetassbaby » 05 Avr 2018, 18:56
Bonjour
Je trouve cela
z^3 + bz^2 + cz - aiz^2 - aibz - aic =z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i
?
Il y a une faute de frappe cest (z - ai)
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mathelot
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par mathelot » 05 Avr 2018, 19:07
si le polynôme,appelons le P, est factorisable par (z-ai), alors P(ai)=0 (avec a réel)
on remplace z par ai, on trouve les conditions
a(a+1)=0 et 1+a+a^2+a^3=0
donc a =-1 convient.
P est factorisable par (z+i)
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Black Jack
par Black Jack » 05 Avr 2018, 19:13
Salut,
z = -i est une solution triviale.
z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0
= z³ + i.z² + z² + iz - z - i = 0
= z²(z+i) + z(z+i) - (z+i) = 0
= (z+i).(z²+z-1) = 0
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