Polynôme positif

[aviateur]

Bonjour
Soit le polynôme défini par


Démontrer que pour tout on a:

Remarque: j'ai fait une démonstration mais qui demande un calcul lourd. Y-a-t-il une démonstration plus light?

[Ben314]

Salut,
Si on accepte d'utiliser des outils un peu puissants, le premier truc qui me vient à l'esprit pour diminuer les degrés, c'est de dire que, vu l'homogénéité, il suffit de traiter le cas où

Donc de montrer que le max de sous contrainte est égal à .

Tu as regardé dans cette voie ?

[aviateur]

En fait, j'avais trouvé une inégalité sur un forum à démontrer où tout le monde a séché. J"ai transformé l'inégalité par celle que tu donnes ici sous la contrainte a^3+b^3+c^3=3. Comme tout le sèche sur cette inégalité j'ai supprimé la contrainte (j'ai dont fait le travail inverse que tu dis) . Finalement j'obtiens le résultat en démontrant que ce polynôme est positif. Le hic c'est que ma démo est critiquée parce que j'ai fait un long calcul. Néanmoins j'ai une démo que je peux donner par la suite. Ce que je cherche c'est une démo moins calculatoire si possible.

[aviateur]

Bonjour
Bon j'indique ma solution.
Sans restriction de la généralité on suppose que a=max(a,b,c) et que
cas 1 alors on peut poser a=x+y+z, b=y+z et c=z, x,y,z>0.
Il vient p(a,b,c)=p(x+y+z,y+z,z). Ensuite on développe p(x+y+z,y+z,z) et l'on constate
que tous les coeff sont positifs.
Le 'hic' c'est que le calcul est long.
voir le lien ici pour voir le résultat.
https://math.stackexchange.com/questions/2131374/if-a3b3c3-3-so-fraca3ab-fracb3bc-fracc3ca-geq-frac
cas 2 travail analogue.

Je rappelle qu'il s'agissait de montrer l'inégalité
sous la contrainte .
Voir aussi sur ce site où j'ai trouvé la question.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1484510
A ma connaissance il n'y a pas de démonstration de cette inégalité sauf celle que je présente. Je suis donc a la recherche d'une démo moins calculatoire.

[MMu]

En fait, j'avais trouvé une inégalité sur un forum à démontrer où tout le monde a séché. J"ai transformé l'inégalité par celle que tu donnes ici sous la contrainte a^3+b^3+c^3=3. Comme tout le sèche sur cette inégalité j'ai supprimé la contrainte (j'ai dont fait le travail inverse que tu dis) . Finalement j'obtiens le résultat en démontrant que ce polynôme est positif. Le hic c'est que ma démo est critiquée parce que j'ai fait un long calcul. Néanmoins j'ai une démo que je peux donner par la suite. Ce que je cherche c'est une démo moins calculatoire si possible.

Est ce que utiliser Lagrange pour avec te semble trop long ..

[Ben314]

Est que utiliser Lagrange pour avec te semble trop long ..

J'ai un peu regardé (avec Maple pour pas me faire c...), mais j'ai rien trouvé de bien concluant : au départ, ça donne des condition pas super compliquées, mais pas super simples non plus et j'ai pas trouvé moyen d'en tirer quelque chose de concluant concernant (a,b,c).

Tu as réussi en en tirer quelque chose toi ?

[aviateur]

Bonjour
Lagrange, toutes les techniques classiques ont été essayées ; Il y a sur mathématques.net (voir le lien dans un de mes post précédent) un dénommé Y.Meyer (pas le vrai je suppose) qui travaille beaucoup sur cette inégalité mais il n'y est pas arrivé et pourtant je sais qu'il a des capacités. C'est lui qui n'est pas content de ma démo car trop de calculs. Cela me plairai qu'on lui donne une démo plus simple! Bien sûr si quelqu'un trouve mieux, je donnerai le lein de ce forum!!