Problème d'équation différentielle d'ordre 2

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Simploid
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Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Simploid » 02 Avr 2018, 16:47

Bonjour à tous,
j'ai depuis peu fait les équations différentielles à coefficients non constants et il me faut une solution particulière que je n'arrive pas à trouver; voici l'équation:
x²y'' - 4xy' +(x²+6)y =0

j'ai bien essayé de poser z=y' me permettant de revenir à
Z'=AZ avec Z=(y,z) et A=[(0 , 1) , (-(1+6/x) , 4/x)]
mais il me faut encore une solution particulière,
toute aide sera appréciée ^^



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Ben314
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Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Ben314 » 02 Avr 2018, 17:28

Salut,
Si effectivement ce que tu cherche c'est juste une solution particulière à ton équation homogène, alors c'est on ne peut plus vite fait : la fonction y: x-> 0 (pour tout x) est clairement solution solution.

Et si tu veut que ça se "passe gentiment", pose pour tout
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Simploid
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Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Simploid » 02 Avr 2018, 19:58

Effectivement, mon message manquait de précision, la fonction ne devait pas être nulle, ni réduit à un intervalle trivial de R, de plus, elle doit être continue, selon mon cours.
Je dois avouer déjà y avoir pensé à cette solution mais elle n’aboutit pas car pour avoir une solution générale, il faut avoir posé y=uz, avec u la solution particulière et z une solution que l'on cherche.
Merci cependant de la réponse rapide.

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Ben314
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Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Ben314 » 02 Avr 2018, 20:22

Simploid a écrit:...mais elle n’aboutit pas car pour avoir une solution générale, il faut avoir posé y=uz, avec u une solution particulière et z une solution que l'on cherche.
NON : ce n'est évidement pas "il faut" (relit correctement ton cours !!!).
De chercher une (et pas la) solution particulière u puis de poser y=u.z, c'est une (et pas la) méthode possible pour résoudre des équa.diff du second ordre à coeff. non constant.
Et bien évidement, ce n'est pas la seule méthode (et ici, vu l'équation, ce n'est pas du tout "une bonne" méthode ).

Bref, tu fait comme tu veut, mais perso en procédant différemment, ça m'a pris 5 minutes...
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Black Jack

Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Black Jack » 02 Avr 2018, 20:33

Salut,

x²y'' - 4xy' +(x²+6)y =0

Une solution particulière est y = x².sin(x)

Vérification :

y' = x².cos(x) + 2x.sin(x)
y'' = -x².sin(x) + 4x.cos(x) + 2.sin(x)

x²y'' - 4xy' +(x²+6)y
= -x^4.sin(x) + 4x³.cos(x) + 2x².sin(x) - 4.x.(x².cos(x) + 2x.sin(x)) + (x²+6).x².sin(x)
= -x^4.sin(x) + 4x³.cos(x) + 2x².sin(x) - 4.x³.cos(x) - 8x².sin(x) + x^4.sin(x) + 6x².sin(x)
= 0

Revérifie. 8-)

Simploid
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Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Simploid » 02 Avr 2018, 21:10

Black Jack, merci bcp pour cette solution, elle fonctionne

Ben314, comme je l'ai dit, on vient de voir les équadiff non constants, je ne connais que cette technique pour l'instant, il est très possible qu'une autre méthode est à utiliser mais je ne la connais pas encore.
Si tu m'as donné un conseil sur le méthode à utiliser, je n'ai pas du le comprendre et je m'en excuse. Quelle méthode propose tu alors?

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Ben314
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Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Ben314 » 02 Avr 2018, 21:52

Pour cette équation là, la méthode qui marche très bien, c'est avec des développement en série entière (1).
Évidement, de dire "ben voilou, je sort d'un chapeau que x->x^2sin(x) est solution particulière", ça marche aussi, mais à ce compte là, tu peut tout aussi bien écrire "ben voilou, je sort d'un chapeau que x->x^2.sin(x) ET x->x^2.cos(x) sont solution particulière et comme je sais que l'ensemble des solutions sur ]0,+oo[ est un e.v. de dim 2, ben ça veut dire que j'ai fini l'exo.".

Bref, dans un cas pareil, soit en "tâtonnant", tu "sort d'un chapeau" les deux fonctions x->x^2.sin(x) et x->x^2.cos(x) et tu as rien de plus à faire comme calculs, Soit tu ne trouve ni l'une ni l'autre et la méthode consistant à utiliser une solution particulière pour trouver l'autre ne t'es d'aucun secours.

(1) Si tu sait pas ce que c'est, on va dire que c'est des "développement limités infinis" et que pour faire exactement la même chose, tu peut tout à fait chercher le D.L. de la fonction x->y(x).

P.S. : ça m’intéresserait plus que beaucoup de savoir comment Black Jack s'y est pris pour trouver que x->x².sin(x) est solution mais ne pas trouver que x->x².cos(x) l'est aussi.
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Black Jack

Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Black Jack » 03 Avr 2018, 12:22

Et qui t'a dit que je n'avais pas vu que x->x².cos(x) était solution particulière ?

Simploïd en a demandé une et je lui en ai donné une.

A partir de laquelle on peut facilement, avec 3 secondes de réflexion trouver toutes les solutions. x--> A.x².sin(x+B)

Comment en trouver une ?

Soit avec un poil de nez, soit si on en est dépourvu en utilisant des canons pour tuer une mouche.

Certes, lorsqu'on sent ce que peut être une solution ... il reste à le vérifier.

8-)

Simploid
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Re: Problème d'équation différentielle d'ordre 2

par Simploid » 06 Avr 2018, 09:03

Ok merci a vous deux, du coup je connais bien les equadiff vu que j ai fait la DSE et l abaissement de l ordre grâce à vos conseils

 

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