Explication : matrice cyclique , diagonalisable , reduction

[ayabaklouti]

voici le sujet du concour national tunisien mathII 2008 et sa correction
dans la partieII, question 5
j'ai pas compris comment il a raisonner
quel est la theoreme qu'il est en train d'appliquer
et dans le cas il n'a pas donner la forme de la matrice comment j'arrive a la determiner
sujet:
http://www.ipeis.rnu.tn/concours_nation ... img221.pdf
correction:
http://www.ipeis.rnu.tn/concours_nation ... img222.pdf

et merci beaucoup

[capitaine nuggets]

Salut !

Il suffit de montrer que la matrice d'un rotation vectorielle :



(à coefficients réels) est diagonalisable dans C mais pas dans R (sauf si , auquel cas la matrice est déjà diagonale) et est semblable à la matrice diagonale :

.

Ta "grande" matrice est une matrice diagonale par blocs où les blocs sont tous la même forme.
Je ne sais pas si ça réponds à ta question, je n'ai pas bien compris où est ton problème, la correction est assez explicite je trouve.

[Ben314]

Salut,
Une façon un peu plus générale (mais c'est la même chose) de voir le bidule, c'est de faire au moins une fois l'exo. suivant (qui sert quand même sacrément souvent) :

On prend une matrice M nxn à coeff. réels.
On suppose que est une valeur propre non réelle de M.
Soit un vecteur propre (complexe) associé à avec et des vecteurs réels.
1) Montrer que est vecteur propre de M associé à la valeur propre .
2) Soit . Montrer que (vu comme C s.e.v. de C^n évidement)
3) Quelle est la matrice de la restriction de M à F dans la base de F ? dans la base de F ?

[ayabaklouti]

je pense que c'est claire maintenant
merci beaucoup les deux