Démonstration suite numérique

[Ainow]

Bonjour ,
j'arrive sur ce forum car je me retrouve bloqué sur un exercice sur les suites, je ne vois pas du tout par où commencer
voici la question:
"Soit E un ensemble fini et f une fonction de E dans E. On considère une suite définie par Un+1 (indice n+1) = f(un). Montre que quelque soit le terme initial u0 , la suite est périodique à partir d'un certain rang"

[pascal16]

f(Un) peut-il prendre une infinité de valeurs différentes ?

si a un moment f(Un)= f(uo) que se passe-t-il alors ?

[Elias]

Salut,

tu as du mal à le démontrer proprement ou du mal à le sentir ?
Je pense que c'est facile d'imaginer que si tu pars d'un u0 quelconque et que tu fais :
f(u0) puis f(f(u0) puis f(f(f(u0))), etc, ben y'a un moment où t'as plus assez d'éléments dans E (car E est fini) et donc tu vas retomber sur un terme de tu avais déjà obtenu précédemment. Du coup, re belote et ça va faire un truc périodique.
Sinon, rigoureusement, ta suite ici, tu auras bien sûr remarqué que c'est celle définie pour tout par où (n fois)

Si tu regardes l'ensemble, c'est un sous ensemble de E qui est fini, donc A est fini.

Il existe donc n et m distincts (disons ) tels que et on conclue facilement que la suite est periodique

[Ainow]

Ah d'accord je vois le raisonnement en revanche j'ai un peu de mal avec l'idée que ça reboucle, j'imaginais que le fait que E soit fini empêcherait de calculer les autres termes de la suite.

[Elias]

Exemple:

E= {1,2,3} et f(1)=2 f(2)=3 f(3)=1

Si tu prends u0=1, ca fait
1 ; 2 ;3 ;1;2;3;1;2;3
Donc t'as la periode "1;2;3" qui se repete


Si tu prends u0=2

2;3;1;2;3;1;2;3;1 etc


Si tu prends u0= 3

3;1;2;3;1;2;3;1;2
Etc

[Ainow]

Ah d'accord je vois, merci beaucoup pour votre aide.