Question d'analyse

[aviateur]

Bonjour
Soit continue et non constante.
Démontrer qu'il existe tel que

[Ben314]

Salut,
J'ai une soluce en traitant 3 cas (dont en fait un seul est intéressant...)
(Et on peut un peu généraliser en remplaçant le carré par un exposant lambda avec lambda>1)
Je laisse chercher et je posterais si personne ne s'y colle...

[aviateur]

Bonjour
@Ben, que tu ais une solution et que tu généralises cela ne m'étonne pas! Oui c'est une énigme mais résoluble avec des connaissances de niveau bac+1. Donc je préfère qu'on laisse chercher encore.

[nodgim]

En fixant y = 0 , on a la fonction x², dont on dessine son graphe dans [0,1].
Or 0 =< I f(x) - f(0) I =< 1. Son graphe traverse nécessairement x² en au moins 1 point.

[Ben314]

En fixant y = 0 , on a la fonction x², dont on dessine son graphe dans [0,1].
Or 0 =< I f(x) - f(0) I =< 1. Son graphe traverse nécessairement x² en au moins 1 point.

Non, ça ne marche pas : certes les courbes de x->If(x)-f(0)I et de x->x^2 se coupent au moins une fois sur [0,1], mais qu'est ce qui te dit qu'il n'y a pas un unique point d'intersection en x=0 ? (c'est le cas si par exemple f(x)=x^2/2)
Et l'énoncé précise bien que x et y doivent être distincts vu que sinon, c'est trivial.

[nodgim]

Exact, il y a un trou dans la raquette.
Cependant, en prolongeant l'idée des graphes, en prenant l'ensemble des courbes Ix - yI² y paramètre qui s'étale continument de 0 à 1, la fonction sera obligée de suivre l'ordonnée 0, c'est à dire d'être constante.

[aviateur]

Bonjour Nogdim
Je ne comprends pas bien ton idée qui est difficile à comprendre.
Si tu veux raisonner en termes de graphes, pour un y fixé, la courbe de la fonction x--> |x-y|^2 est un arc de parabole situé au dessus de l'axe des abscisses et a un seul point commun avec cet axe le point (y,0).
la courbe de x---> |f(x)-f(y)| est de même située au dessus de l'axe des abscisses et (y,0) appartient a cet axe.
Mis à part cela pour l'instant cela ne dit rien de plus. Ensuite si tu fais varier y, les 2 courbes se "déforment continuement " mais alors??

[Lostounet]

Quelqu'un aurait-il une indication?
Ce n'est pas aussi facile que prévu.

Mais là j'ai un examen demain je n'ai pas encore pu assez chercher.

[aviateur]

Bonjour
Je ne sais pas comment à fait @ben.
Néanmoins voici un indication possible: Montrer qu'il existe tel que

[capitaine nuggets]

Salut !

En l’absence d'idées, j'aurais raisonné par l'absurde : soit une fonction continue et non constante. Supposons que pour tous réels distincts dans , on ait. Je distingue alors deux cas :
1. Si alors j'arrive à montrer que est nécessairement constante : contradiction.
2. Par contre, je bloque si .

Je n'ai pas le réponse pour le moment.

[Ben314]

Que peut on dire d'une fonction quelconque telle que, pour tout de , on ait ?
Est elle forcément continue ? dérivable ? que peut on dire de la dérivée ?
(On peut aussi se passer d'un quelconque argument analytique (i.e. continuité et dérivabilité), mais ça revient peu ou prou à refaire une preuve classique d'analyse.)

[Ben314]

1. Si, pour tout x,y on a alors j'arrive à montrer que est nécessairement constante : contradiction.
2. Par contre, je bloque si pour tout x,y on a .

Le (1) : O.K.
Le (2) c'est trivial : si c'est vrai pour tout x,y alors c'est vrai pour x=0 et y=1, or...

Par contre, à mon avis, tel quel, c'est "mal rédigé" si tu part par l'absurde, la négation de "il existe x distinct de y tel que |f(x)-f(y)| = |x-y|^2" c'est "pour tout x distinct de y on a |f(x)-f(y)| |x-y|^2" or l'ensemble des (x,y) tels que x soit distincts de y, c'est pas connexe donc tu peut pas dire "en claquant des doigts" que, si ça s'annule pas, c'est que ça reste de signe constant. (mais bon, c'est pas bien grave du fait que, par contre, l'ensemble des des (x,y) tels que x>y, ça c'est bien connexe).

[nodgim]

La fonction n'étant pas constante, il existe une pente moyenne P non nulle . Il existe donc un endroit où P est atteint voire dépassé. Or d f(x) = P dx et donc on peut toujours prendre un écart aussi petit qu'on veut où on aura dx² < IP dxI car dx² décroit plus vite que P dx. Si cet endroit est localisé aux points A et B (xA < xB), en faisant glisser xA vers 0 et xB vers 1, On aura nécessairement un endroit où If(xA) - f(xB)I < I xA² - xB²I au pire lorsque xA = 0 et x B = 1.
Et comme f est continue, on passe nécessairement par une égalité.

[aviateur]

La fonction n'étant pas constante, il existe une pente moyenne P non nulle . Il existe donc un endroit où P est atteint voire dépassé. .....

Pour avoir une pente moyenne il faut déjà qu'il ait des pentes. Mais la fonction n'est que continue...
Maintenant tu peux considérer des pentes de cordes comme par exemple pour et mais alors???

[aviateur]

Bon, je commence à donner un morceau de solution :
Si pour tout on a Alors on a:
Alors en faisant tendre y vers x, on obtient que f est dérivable sur
[0,1] et que C'est à dire que f est constante, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse.
Remarque effectivement on peut remplacer par

[MMu]

On peut remplacer par où est une fonction continue non négative telle que ..
Am I right ? ...

[aviateur]

Peut être Mmu mais il faut voir si ça colle avec la fin de la solution.

[MMu]

Peut être Mmu mais il faut voir si ça colle avec la fin de la solution.

Il me semble que Ben a déjà donné cette fin de solution ...

[aviateur]

Non je ne pense pas qu'il a donné la fin de la solution. Je ne sais même pas si sa solution correspond à celle dont j'ai donné le début.

[Ben314]

Mon idée, c'était ça (en utilisant le moins d'outils possibles : ça rallonge un peu...)

Cas 1 : Si alors, pour tout fixés et tout , on a


en utilisant l'hypothèse

Et en faisant tendre vers on en déduirait que donc que est constante.

Cas 2 : Si alors en particulier on a .
Mais, vu que et sont dans cela ne se peut que si ce qui montre qu'il existe distinct de tel que .

Cas 3 : Si aucun des deux cas précédent n'est vérifié, cela signifie qu'il existe tels que et .
On a évidement et, pour des raisons de symétries, on peut considérer et, de même, .
Si, pour on pose et alors la fonction est continue sur [0,1], >0 en t=0 et <0 en t=1 donc s’annule en (au moins) un (et il est clair que, pour tout , )