Etude de suite

[kerst]

bonjour,

soit la suite

et V0=2

Je ne vois pas du tout quoi faire je n'arrive meme pas a montrer si elle est croissante ou décroissante. J'ai essayé Vn+1-Vn et Vn+1/Vn mais ça ne donne rien

[Ben314]

Salut,
C'est encore et toujours la même méthode :
1) Recherche des points fixes de f [la fonction telle que U(n+1)=f(Un)], c'est à dire des x tels que f(x)=x, vu que, si Un tend vers une limite finie, c'est un point fixe de f [et pour chercher les points fixes, on peut bien sur étudier x->f(x)-x de façon à déterminer ces zéros)
2) Tableau de variation de fonction f (en faisant apparaître les points fixes) de façon à visualiser que sont les intervalles stables pour f, c'est à dire les [a,b] tels que f([a,b]) est contenu dans [a,b] vu que, si U0 est dans un tel intervalle, tu en déduira par une récurrence immédiate que tout les Un sont dans ce même intervalle.
3) (re)Etude de f(x)-x (sur l'intervalle où tout les Un sont) de façon à déterminer son signe vu que U(n+1)-Un=f(Un)-Un.

Bref, il faut étudier les fonctions x->f(x) ET x->f(x)-x épicétout.

[Pseuda]

Bonjour,

Je vais essayer de te donner quelques pistes.

Commence par calculer les premiers termes de la suite (2 ou 3 suffisent). Elle a l'air décroissante.

Pour le prouver, calcule . Arrivé là, on se rend compte qu'il faut commencer par montrer que la suite est minorée par .

Montre donc par récurrence que .

Pas vu le message de Ben314, je laisse. La démarche est différente (la mienne : TS améliorée, la sienne : plus industrielle, maths sup).

[Ben314]

C'est bien là (par exemple) que je comprend vraiment pas le point de vue des types qui font les programmes :
- Clairement, les "études de fonctions", ben c'est on ne peut plus au programme (c'est même quasiment le coeur du programme du Lycée en analyse).
- Mais de donner par exemple des applications des études de fonctions de façon à voir "à quoi ça sert" dans le reste des maths. et dans quel contexte on doit penser soi même à faire une étude de fonction alors que ce n'est pas explicitement demandé par l'énoncé, alors là, clairement, c'est plus du tout au programme : ça donne quand même on ne peut plus l'impression que tout ce qui pourrait ressembler de près ou de loin à une "prise d'initiative" (par opposition à un application mécanique d'une formule), c'est banni des programmes.

Parce que là, il me semble quand même que l'étude des fonctions x -> f(x) = x/2 + 1/x et x -> f(x)-x = -x/2 + 1/x, on peut pas dire que ce soit "hors des clous" au niveau Lycée, non ?
Donc c'est quoi qui est "hors des clous" ?
- De savoir interpréter un tableau de variation pour trouver (par exemple) un intervalle [a,b] tel que a<x<b implique a<f(x)<b ?
- De comprendre que, si on a de tels a et b et que a<U0<b, alors une récurrence évidente va nous donner a<Un<b pour tout n?
- De comprendre que U_{n+1}>U_n c'est jamais que f(x)>x avec x=U_n ?
- De comprendre que, si f(x)>x pour tout x de [a,b] et que a<Un<b pour tout entier n alors f(Un)>Un pour tout entier n ? (là, je suis tout à fait d'accord que, vu l'absence systématique de quelconques quantificateurs dans la prose des élèves, c'est pas gagné pour cette partie là...)

Bref, une fois de plus, la logique m'échappe franchement : passer des heures et des heures à faire des études de fonction sans même voir à quoi ça peut être (plus que) utile pour étudier des suites récurrentes, ben je comprend pas...

[Pseuda]

ça donne quand même on ne peut plus l'impression que tout ce qui pourrait ressembler de près ou de loin à une "prise d'initiative" (par opposition à un application mécanique d'une formule), c'est banni des programmes.

Mais cette démarche, une fois qu'elle est connue, devient elle aussi une méthode, et comme son nom l'indique, sans prise d'initiative aucune (on applique la méthode et puis c'est tout). La seule différence, ce sont les méthodes que l'on est censé connaître. Finalement, on commence souvent par accumuler des méthodes (tout en assimilant le cours), qui apparaissent au début comme des prises d'initiative.

On ne peut pas demander à un TS de penser à cette démarche par lui-même. Surtout quand je vois que la plupart des élèves sont persuadés que, puisque la fonction est croissante, alors la suite est croissante (seuls les plus aguerris se demandent si c'est bien vrai).

[Ben314]

On ne peut pas demander à un TS de penser à cette démarche par lui-même. Surtout quand je vois que la plupart des élèves sont persuadés que, puisque la fonction est croissante, alors la suite est croissante (seuls les plus aguerris se demandent si c'est bien vrai).

Ben ça justement, à mon sens, c'est bien la preuve qu'on devrait leur expliquer comment ça marche plutôt que de rien dire du tout et de "laisser croire" des conneries.
Si encore ça nécessitait un quelconque "outil" supplémentaire, je dit pas, mais là, même pas, tout est "on ne peut plus dans les clous"...

[Pseuda]

S'il n'y avait que ça ! Mais des trucs comme ça, il y a en 100, 1000 ! dans le maquis des incompréhensions et des ignorances. Et ils n'ont pas que les maths, ils ont aussi l'histoire, la physique, philo, l'anglais, ..., bon tu sais, au programme du bac. Ils veulent des méthodes, sûres, rapides. Mais selon moi, cela passe avant tout par la compréhension. C'est ce que je m'efforce de faire avec mes élèves.