Fonctions d'erreurs différentiabilité (L1)

[Yezu]

Salut à tous,

Mon topic s'avère plus être une question de compréhension qu'une demande d'aide pour un exercice.

En effet, dans mon cours de Calcul à plusieurs variables, la définition employée par mon professeur pour la différentiabilité (en un point (a,b)) est la suivante :

f(x,y) = f(a,b) + f_x Delta x + f_y Delta y + Epsilon 1 Delta x + Epsilon 2 Delta y

avec x = a + Delta x
y = b + Delta y
Epsilon 1 et 2 etant des fonctions de Delta x et Delta y tendant vers 0 lorsque le couple (Delta x, Delta y) tend vers l'origine (fonctions d'erreur)

Je me débrouille assez bien pour traiter les exercices avec cette définition, mais cherchant des exercices/notes de cours sur internet, j'ai vu que beaucoup utilisaient une autre definition.
En effet, beaucoup utilisent une seule fonction d'erreur qui est multiplié par la norme du vecteur de composantes (Delta x, Delta y).

Je me demandais comment montrer ce résultat à partir de ma définition.

Merci d'avance.

[pascal16]

Perso, je vais te donner une explication géométrique simple, les autres te donneront de explications strictes sur la différentiabilité.

f(x,y) = f(a,b) + f_x Delta x + f_y Delta y + Epsilon 1 Delta x + Epsilon 2 Delta y
est une fonction d'erreur selon 2 directions, donc 2D, pas facile à encadrer.

si on veut se ramener à 1D seulement, on prend la norme : l'erreur 1D est donc :
|f(x,y) - f(a,b)| = | f_x Delta x + f_y Delta y + Epsilon 1 Delta x + Epsilon 2 Delta y|
|f(x,y) - f(a,b)| <= |f_x Delta x + f_y Delta y | + | Epsilon 1 Delta x + Epsilon 2 Delta y|

|f_x Delta x + f_y Delta y | => représente la différence entre un plan que l'on espère tangent à la surface en (a,b) et la surface z=f(x,y) quand on s'écarte de (a,b) d'un vecteur de coordonnées (Delta x , Delta y)
Il est donc logique de prendre la norme de ce vecteur comme référence d'écart

| Epsilon 1 Delta x + Epsilon 2 Delta y| => doit tendre vers 0 selon toutes les directions pour que le plan soit réellement tangent (c'est qu'il me semble que ta définition a un trou, il faut une majoration de l'erreur dans toutes les directions, pas seulement selon 2 directions, les pros t'en diront plus)

[Yezu]

Merci bien Pascal, j'y vois déjà un peu plus clair !

[mathelot]

les notations habituelles sont


pour aboutir à ces notations à partir de celles de ton prof:

[Yezu]

Salut mathelot,

Merci bien pour ta réponse.

Donc si on pose Epsilon 3 = max(Epsilon1, Epsilon2) et qu'on l'insère dans la définition c'est bon ?

[mathelot]

oui, ça devrait le faire.