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[lilredhood]

Bonjour,
j'ai essayé un exercice et je suis bloqué a partir d'une question.
Soient u_n+1=(u_n+v_n)/2 et v_n+1=sqrt(u_n*v_n)
Soit w_n=u_n-v_n
Montrer que w_n+1<(w_n)/2.
Je suis bloqué a cette question, si quelqu'un aurait des pistes.
Merci

[mathelot]

Bonjour,
j'ai essayé un exercice et je suis bloqué a partir d'une question.
Soient u_n+1=(u_n+v_n)/2 et v_n+1=sqrt(u_n*v_n)
Soit w_n=u_n-v_n
Montrer que w_n+1<(w_n)/2.
Je suis bloqué a cette question, si quelqu'un aurait avait des pistes.
Merci

calcule en fonction de u_n et v_n, on trouve un carré parfait
puis utilise la quantité conjuguée.

est ce que l'on sait si ?

[Ben314]

Salut,
Déjà, tel que c'est énoncé, c'est clairement faux : si on prend U0=2 et V0=8 alors U1=5 et V1=4 et W1=5-4=1 n'est pas inférieur à W0/2=(2-8)/2=-3 (de même, si U0=V0 alors W0=W1=0 et on n'a pas inégalité stricte W1<W0/2)
De plus, vu que rien ne précise que U0 et V0 sont positifs, il est fort possible que V1 n'existe pas et donc que la question n'ait aucun sens.

A la limite, le truc pourrait être vrai, mais il faudrait rajouter des hypothèses, soit que 0<U0<V0, soit uniquement que U0 et V0 sont >0 et distincts mais dans ce cas, l'inégalité W(n+1)<Wn/2 ne sera valable que pour n supérieur ou égal à 1 et pas pour n=0.
Mais là, comme il n'y a aucune de ces deux hypothèses, ben on peut rien conclure (à part que l'énoncé est faux).

P.S. (@mathelot) : Je vois pas bien à quel moment tu ressent le besoin d'utiliser des "quantités conjugués" : il me semble que la "bète constatation" que, si alors est suffisante pour conclure (sans avoir besoin de quoi que ce soit d'autre que, justement, ce )

[mathelot]

@Ben: je te répond demain

[Pseuda]

Bonjour,

si

@Ben314 Au vu de l'énoncé, il me semble que c'est Un >= Vn pour tout n (au moins à partir du rang 1) (avec U0 et V0 positifs, sinon l'énoncé devient vite n'importe quoi).