Equivalent

[kerst]

Soit un et vn deux suites strictement positives. Montrez que si un ~ vn, alors les suites :
et
sont simultanement convergentes ou divergentes


Je ne vois pas comment faire. Est-ce qu'il faut utiliser la proposition sur les suites adjacentes?

[pascal16]

peut être écrire la définition de l'équivalent.
écrire que Un converge vers une limite.
et en coupant les epsilon en 2, conclure.

[Ben314]

Salut,
LE premier truc à dire, c'est que vu qu'on a affaire à des suites (u_n) et (v_n) positives, c'est que les suites (U_n) et (V_n) sont croissantes et donc, pour chacune d'entre elle, il n'y a que deux comportement possible :
- Soit elle est majorée et elle converge (th. vu au Lycée).
- Soit elle n'est pas majorée et elle tend vers +oo.

Donc, (vu la symétrie de l'énoncé), pour tout démontrer, il suffit de montrer que, si (U_n) est majorée alors (V_n) aussi.
Et ça, en revenant à la définition de "équivalent", c'est assez immédiat (et on voit même très bien que l'on pourrait remplacer la condition "suites équivalentes" par une condition plus faible)

[Pseuda]

Bonsoir,

Si un et vn sont strictement positives, et un ~ vn, alors lim un\vn = 1. Alors, on est assuré qu'à partir d'un certain rang n0, un\vn <=2.

[kerst]

Donc :

un~vn d'où lim(un/vn)=1 donc à partir d'un certain range n0, un/vn<=1 c'est à dire un <=vn
Si vn est majorée par L alors pour tout k vk<=L don Vn <=n*L la suite Vn converge
Or si vn est majorée par L on un<=vn<=L c'est à dire que un est aussi majorée et par conséquent Un est majorée et converge.

Ca me parait un peu bancal comme démonstration, qu'en pensez vous?

[Pseuda]

Donc :

un~vn d'où lim(un/vn)=1 donc à partir d'un certain range n0, un/vn<=1 c'est à dire un <=vn.

Ca me parait un peu bancal comme démonstration, qu'en pensez vous?

Bonjour,

Bancal en effet. Avec lim(un/vn)=1, on n'a pas forcément un/vn<=1 à partir d'un certain rang. Contre-exemple : un=n+1/n et vn=n. Par contre, on a un/vn<=2 à partir d'un certain rang (ou 3/2 ou 1,1 ou 1,001, ...).

Puis la suite est flottante aussi. La somme des ui de n0+1 à n est majorée par la (somme des vi de n0+1 à n) * 2, reste à traiter de 1 à n0, et écrire tout cela avec des notations mathématiques.

[kerst]

Bonjour,
Je ne vois pas bien pourquoi ce n'est pas valable avec 1 ?

Je comprends bien pour l'explication à partir de n0, peut-on s'en contenter? car ce qui nous intéresse c'est le comportement quand n tend vers l'infini non ?

[Ben314]

Bonjour,
Je ne vois pas bien pourquoi ce n'est pas valable avec 1 ?

Ben ça veut hélas dire que tu as toujours pas compris ce qu'était une limite...

Si u_n/v_n tend vers 1 (lorsque n->oo), ça veut dire, par définition, que :
- à partir d'un certain rang, tout les u_n/v_n sont entre 0 et 2 ( dans la définition d'une limite)
(donc en particulier, à partir d'un certain rang, ils sont tous <2)
- à partir d'un certain rang (plus loin), tout les u_n/v_n sont entre 0.9 et 1.1 ( dans la définition)
- à partir d'un certain rang (encore plus loin), tout les u_n/v_n sont entre 0.9999 et 1.0001 ()
- etc...

Mais ça ne dit absolument pas qu'à partir d'un certain rang ils sont tous inférieur à 1 ni qu'à partir d'un certain rang ils sont tous supérieur à 1.

[Pseuda]

Je comprends bien pour l'explication à partir de n0, peut-on s'en contenter? car ce qui nous intéresse c'est le comportement quand n tend vers l'infini non ?

Il s'agit d'une somme, c'est un peu plus que le comportement de la simple suite (un) à l'infini. Il faut montrer (par exemple) que si (Vn) converge, alors (Un) converge. Du coup, par symétrie, on aura que si (Vn) diverge, alors (Un) diverge.

Si (Vn) converge, elle est majorée. Du coup (Un) est majorée (par quoi ? on coupe en deux : la somme des termes avant n0 + la somme des termes à partir de n0 vu qu'à partir du rang n0, un <= 2*vn), et comme elle est croissante, elle converge.

Mais il y a peut-être une démonstration plus simple...