Petit débroussaillage
1) Si a = 1
1^(1^x) = x
1 = x
1 solution qui est x = 1
2) Si a > 1
Les solutions de a^(a^x) = x sont les mêmes que celles de ln(a^(a^x)) = ln(x)
donc de : a^x * ln(a) = ln(x)
Soit f(x) = a^x.ln(a) - ln(x)
f'(x) = a^x*ln²(a) - 1/x
f''(x) = a^x*ln³(a) + 1/x² > 0 et donc f'(x) est croissante.
a^x*ln²(a) > 0 et tend vers +oo avec x
0 < 1/x < +oo avec x de 0+ à +oo
Et donc f'(x) = 0 pour 1 et 1 seule valeur de x sur R*+, cela correspond à un minimum de f(x).
Le nombre de solutions dépend du signe de la valeur du minimum de f(x)
f'(x) = 0 pour x = W(1/ln(a))/ln(a) (Avec W() la fonction W de Lambert)
La valeur du min de f sera f(W(1/ln(a))/ln(a))
On résout f(W(1/ln(a))/ln(a)) = 0 et on trouve (Si on possède ce qu'il faut pour manipuler la fonction W(), par exemple Wolfram alpha): a = e^(1/e)
f'(x) augmente avec la valeur de a --> la position du minimum de f(x) augmente (x plus grand) si a augmente.
On a donc :
min de f(x) < 0 si a est compris dans ]1 ; e^(1/e)[
min de f(x) = 0 si a = e^(1/e)
min de f(x) > 0 si a > e^(1/e)
Et donc, jusqu'ici, on a :
a = 1 : l'équation a 1 seule solution (qui est x = 1)
a dans ]1 ; e^(1/e)[ : l'équation a 2 solutions
a = e^(1/e) : l'équation a 1 solution (double)
a > e^(1/e) : l'équation n'a pas de solution.
3) Si a < 1
... Plus tard si j'ai le courage.
Il y a probablement des voies plus simples.