Point fixe

[yavlory]

Bonjour

un défi de géométrie
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Soit un un repère barycentrique du plan affine usuel et selon



posons , ,
l'angle géométrique issu de du triangle
l'angle géométrique issu de du triangle
l'angle géométrique issu de du triangle

pour tout point du plan on notera ses coordonnées barycentrique normalisées par rapport à

_________
Soit la transformation du plan que l'on notera définie selon :

Soit un point quelconque du plan alors selon








on remarquera que est l'unique point fixe de et selon



et donc et de plus ce point est unique

_________
question

trouver trois transformations du plan , , et distinctes deux à deux telles que

[yavlory]

coquille sur le calcul du point fixe

j'édite l'énoncé

il s'agit du point de coordonnées barycentriques normalisées




et donc

[yavlory]

deux indices
1)un théorème bien connu parle de cette transformation dont est le seul point fixe
2)comme est écrit on remarque que tout point du plan possède pour image par cette transformation un point appartenant à la droite et rappela ce théorème bien connu à votre mémoire

[yavlory]

troisième indice et qui ne fait pas appel à la connaissance d'un théorème
3) est un triangle et là on a vu que l'on parle de la droite
intuitivement quel est le premier réflexe qui vient quand on a un point et trois droites
les droites portant les segments de ce triangle et dans le contexte d'une transformation du plan dont les images des points de ce plan par cette transformation sont sur l'une de ces trois droites?

[yavlory]

Bonjour
à la question
trouver trois transformations du plan , , et distinctes deux à deux telles que



on peut tout simplement poser(et vérifier)

donne la projection orthogonale d'un point sur la droite

donne la projection orthogonale d'un point sur la droite

donne la projection orthogonale d'un point sur la droite

et donc
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édit
la question (que je n'ai évidemment pas posé) que j'ai vu un jour et quelque part fut:
démontrer que ne possède qu'un seul point fixe

ils ne demandaient pas de le calculer mais pour info il s'agit du point de coordonnées barycentriques normalisées par rapport à suivant