Polynomes

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Vlad-Drac
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polynomes

par Vlad-Drac » 15 Mar 2018, 23:33

bonjour,
soit p un nombre premier, et K le corp Z/pZ
1)determiner le nombre de polynome unitaire de degres 2 a coefficient dans K.
je sais qu'un polynome unitaire de degres 2 s'ecrit X²+aX+b mais a part ca ...



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Re: polynomes

par Lostounet » 15 Mar 2018, 23:45

Vlad-Drac a écrit:bonjour,
soit p un nombre premier, et K le corp Z/pZ
1)determiner le nombre de polynome unitaire de degres 2 a coefficient dans K.
je sais qu'un polynome unitaire de degres 2 s'ecrit X²+aX+b mais a part ca ...


Salut,
Certes les polynômes unitaires à coefficients dans Z/pZ sont de la forme X^2+aX+b.
Mais il faut préciser que a et b sont justement des éléments de Z/pZ.

Prenons par exemple Z/2Z.
Les deux polynômes X^2+2X+1 et X^2 + 0X +1 sont deux représentants d'un seul et même élément.
Ceci est dû au fait que 2=0[mod 2].
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Re: polynomes

par Ben314 » 15 Mar 2018, 23:52

Salut,
Sinon, concernant les polynômes irréductibles de degré 2 sur un corps (commutatif) absolument quelconque, c'est quand même "fingers in the nose" vu que pour le degré 2 (et 3), l'irréductibilité, ben ça se résume à la non existence de racines et que les (éventuelles) racines d'un polynôme de degré 2, ben c'est étudié au Lycée (forme canonique)
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Re: polynomes

par Lostounet » 15 Mar 2018, 23:56

Ben314 a écrit:c'est quand même "fingers in the nose"


Et pour le degré >3 fingers in the ... :P
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Re: polynomes

par Ben314 » 16 Mar 2018, 00:09

Bon, déjà, j'ai dit (une légère) c.. ça dessus : la forme canonique, ça marche évidement pas en caractéristique 2 (mais bon, des Z/pZ de caractéristique 2, y'en a pas de tonnes).

Et sinon (@lostounet), de façon que peut sembler au première abord un peu surprenante, ben de dénombrer le nombre de polynômes irréductibles de degré d donné dans un corps fini, ben c'est pas très compliqué et ça demande pas un bagage "monstrueux" (mais quand même un peu plus que la simple forme canonique...)
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Re: polynomes

par Lostounet » 16 Mar 2018, 00:17

Ben314 a écrit:Et sinon (@lostounet), de façon que peut sembler au première abord un peu surprenante, ben de dénombrer le nombre de polynômes irréductibles de degré d donné dans un corps fini, ben c'est pas très compliqué et ça demande pas un bagage "monstrueux" (mais quand même un peu plus que la simple forme canonique...)


Je ne te cache pas que... j'ai totalement oublié comment procéder :P
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infernaleur
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Re: polynomes

par infernaleur » 16 Mar 2018, 00:55

Salut,
j'ai vu ça cette année et il me semble que mon prof nous avait démontré ça en utilisant ce théorème :

Soit K un corp et et
On a

(le produit parcourt l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles de K[X] et de degré divisant n)
(la démonstration était pas très drôle dans mes souvenirs).

Après fallait utiliser la fonction de "Möbius" est on arrivé à une expression assez simple du nombre de polynômes irréductibles unitaires dans un corp fini

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Re: polynomes

par Vlad-Drac » 16 Mar 2018, 01:06

a et b peuvent prendre p valeurs ? donc p² polynomes possible ?
par exemple dans Z/2Z
on a

X² + X +1
X² + 1
X² + X

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Re: polynomes

par Lostounet » 16 Mar 2018, 02:29

Oui... p^2.

infernaleur a écrit:Salut,
j'ai vu ça cette année et il me semble que mon prof nous avait démontré ça en utilisant ce théorème :

Soit K un corp et et
On a

(le produit parcourt l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles de K[X] et de degré divisant n)
(la démonstration était pas très drôle dans mes souvenirs).

Après fallait utiliser la fonction de "Möbius" est on arrivé à une expression assez simple du nombre de polynômes irréductibles unitaires dans un corp fini


Bon c'est pas si .. trivial :P
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Re: polynomes

par Ben314 » 16 Mar 2018, 13:29

La preuve, elle est quand même pas "archi compliquée" :
D'un coté, si tu prend un polynôme P de degré n irréductible sur F_q alors F_q[X]/(P) c'est une corps à q^n éléments donc c'est (à isomorphisme prés) F_{q^n} (unicité du corps fini de cardinal donné).
Bien entendu, si on prend alpha = la classe de X dans F_q[X]/(P) = F_{q^n} alors P est le polynôme minimal de alpha sur F_q. Or tout élément de F_{q^n} est racine (simple) de X^(q^n)-X (théorème de Lagrange dans le groupe multiplicatif F_{q^n} \ {0} ) donc P divise X^(q^n)-X.
Réciproquement, si on prend un élément quelconque beta de F_{q^n} et son polynôme minimal Q (qui est évidement irréductible et qui divise X^(q^n)-X) alors le corps F_q(beta) est un corps intermédiaire entre F_q et F_{q^n} donc un certain F_{q^d} avec d qui divise n (vu que F_{q^n} doit être un F_{q^d} e.v) . Donc le degré de Q, c'est le d en question et l'argument ci dessus montre que tout les polynôme irréductible de degré ce d là peuvent être obtenu de cette façon (i.e. en prenant un beta dans F_q et en considérant son polynôme irréductible).

La conclusion, c'est que est l'ensemble des polynôme irréductibles de degré d irréductibles sur F_q.
Et arrivé à ce point, tu utilise la formule d'inversion de Möebius pour en déduire que
Ce qui te donne non seulement le cardinal de mais aussi un test d'irréductibilité dans F_q : un polynôme de F_q[X] de degré n est irréductible ssi il divise .
(test utilisé, sauf erreur, dans un certain nombre de méthodes de cryptage pour trouver des polynômes irréductibles sur des trucs style )
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Re: polynomes

par Lostounet » 16 Mar 2018, 14:35

Merci Ben, je lis la preuve pour me souvenir de la méthode.
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