Devoir sur un système d'équations différentielles

[leof34]

Bonjour,

J'ai un devoir à faire sur un modèle biologique qui utilise un système d'équations différentielles mais je n'arrive pas à faire la première question. Je vous mets donc le sujet en espérant que vous puissiez m'aider.

L'intéraction entre deux espèces H (hôte) et P (parasite) est décrite par le modèle suivant :

dH/dt = (a1 - b1H - c1P)H, dP/dt = (-a2 + c2H)P où H est la taille de la population des hôtes et P la taille de la population des parasites. On précise que les paramètres sont positifs.

Soit D = a1c2 - a2b1. Trouver des équilibres (ayant un sens biologique (H>=0, P>=0)) de ces populations, ainsi que leurs types dans trois situations i) 0<D<a2b1^2/(4c2), ii) D>a2b1^2/(4c2) et iii) D<0.

Merci d'avance pour votre aide !

[Lostounet]

Salut,

Si H'(t) = (a1 - b1H - c1P)H
et que P'(t)= (-a2 + c2H)P, une méthode "pratique" pour trouver un équilibre si je me souviens bien est de se dire qu'à l'équilibre (s'il existe) P et H ne varient plus. En d'autres termes, on aurait P'(t) = 0 et H'(t) = 0 lorsque rien ne varie,

Donc H(a1 - b1H - c1P(t)) = 0 et (-a2 + c2H)P = 0

Que peux-tu donc conclure?

[Ben314]

Salut,
Je vais tenter d'éclaircir un peu le bidule, mais ça va plutôt être pour les matheux (par exemple Lostounet) que pour leof34 pour qui ça risque (à voir...) de pas coller avec le point de vue qu'on lui a donné (j'aurais tendance à penser qu'en biolo., on a du donner des "recettes" avec des explication "plus ou moins intuitives", mais je suis peut-être mauvaise langue).
Et, vu que j'ai ni enseigné, ni même étudié ça, je suis pas sûr d'avoir le bon vocabulaire, ni d'être capable de faire de la vulgarisation....

Bref, ici, l'énoncé, ce qu'il donne c'est une fonction de dans qui, au point de coordonnées associe le vecteur de coordonnées .
Et ce qu'on cherche, c'est une fonction de dans qui, au réel (le temps) associe le point de coordonnées telle que, pour tout , on ait .
La fonction , ça s'appelle un "champs de vecteur" et, la fonction , ça s'appelle une "courbe intégrale" du champ X. Modulo quelques hypothèses (de régularité), pour tout point de départ fixé, il existe une unique courbe intégrale du champ telle que et la fonction s'appelle "le flot" de .
La recherche des "point fixes" c'est à dire des tels que soit constant (qui sont aussi les éventuelles limites lorsque t->oo de certaines courbes intégrales) ne pose pas de problème vu que c'est les tels que et que dans un cas comme ici, c'est très facile à résoudre (c'est ce que dit Lostounet çi dessus).
Par contre, le problème, c'est de déterminer "leur nature", (attractif ou pas), c'est à dire de déterminer si, lorsque une courbe intégrale passe "assez proche" de ce point, est ce qu'elle va forcément tendre vers le point ou pas ?
C'est là que la théorie n'est pas totalement évidente (et que je me demande si leof34 n'a pas des formules "toutes faites" à appliquer sans réfléchir).
Pour ceux qui veulent un peu comprendre le bidule en prenant comme exemple... celui donné par leof34..., il suffit de comprendre qu'on visualise relativement bien "la tête" des courbes intégrales en représentant simplement le champs de vecteur (regarder sur internet pour avoir des zoli dessins de champs de vecteur et de courbe intégrale associées).
Ici, (= première composante du champs de vecteur ) est =0 sur les droites et , elle est >0 en dessous de et <0 au dessus (dans le domaine d'étude , ).
De même, est =0 sur les droites et , elle est <0 entre les deux et >0 à droite de .
En traçant tout ça sur un dessin, le premier truc qu'on voit c'est qu'il y a deux cas de figure selon que l'intersection des droites et est ou pas dans le domaine d'étude (sachent que l'ordonnée de est avec le de l'énoncé).
Et pour comprendre "comment ça marche" sans faire de calculs, on peut regarder ce qui se passe en supposant que I est dans le domaine (<=> D>0) et en partant d'un point situé au dessus de , et à droite de .
Vu les signes des dérivées, on se dirige "Nord-Ouest" et on tombe sur la droite (la composante "Ouest" reste importante alors que la composante "Nord" diminue : on va de plus en plus "plein l'Ouest"). A partir de là, on va "Sud-Ouest" et, on tombe forcément sur (si on s'approche de la droite , la composante "Ouest" tend vers 0 alors que la composante "Sud" reste non négligeable donc on va de plus en plus "plein Sud). Après avoir traversé , on continue le périple direction "Sud-Est" et on tombe forcément sur (même raisonnement). On coupe donc puis direction "Nord-Est" où on tombe sur et on est revenu dans la zone de départ (donc direction "Nord-Ouest). On fini donc par se retrouver sur la même demi droite d'origine que le point de départ.
Et LA question, c'est évidement de savoir si, revenu sur cette même demi-droite, est-ce qu'on s'est rapproché de I ou pas ?
Clairement, si on est revenu exactement au même point, ben c'est que la courbe intégrale va être périodique donc que les populations d’Hôte et de Prédateurs ne vont pas du tout tendre vers un état "stable" mais vers un état "cyclique".
Et bien entendu, un tel état "cyclique" peut parfaitement être "attractif", c'est à dire qu'en partant d'un point de départ pas trop loin de cette courbe fermée, (voire éventuellement en partant de n'importe quel point à quelques exceptions près) la courbe intégrale va tendre vers la courbe fermée (imaginer une spirale qui "tend" vers un cercle par l'intérieur ou par l’extérieur).

Bref, c'est bien marrant, mais... pas simple...

La suite (éventuellement) au prochain épisode, mais je laisse le temps aux matheux qui le désirent de voir ce qu'on doit faire comme calculs pour répondre à la question (en supposant bien sûr que le point de départ est suffisamment proche de I pour qu'on puisse faire des D.L. en I et que ces derniers soient pertinents pour étudier le problème).

[Lostounet]

Tout d'abord, merci Ben pour tous ces compléments: tu m'as rappelé le vocabulaire des systèmes dynamiques que j'avais oublié.

Voici un schéma du "champs de vecteur" que j'aurais fait (je ne sais pas si je me suis gouré de sens dans les flèches). Et j'ai tracé les deux droites et un peu au pif (sans regarder le signe des coefficients...). Mais je pense que c'est un peu l'idée? Je n'ai pas orienté les droites.


Je me souviens qu'on faisait des choses comme l'étude de fonctions "distance" ou bien par exemple .
Mais je n'ai jamais pu aller plus loin dans ces études, car après ont eu lieu les "fonctions de Lyapunov" et les "origines asymptotiquement stables" que je n'avais pas bien saisi...

[Ben314]

Le dessin, c'est pas tout à fait ça : la droite Delta_H a un coeff. directeur négatif : elle coupe (comme sur ton dessin) l'axe des P en a1/c1>0, mais (contrairement à ton dessin), elle coupe l'axe des H en a1/b1>0 (qu'il faut comparer avec le a2/c2 de Delta_P). Sinon ça sert pas à grand chose de représenter quoi que ce soit hors du domaine H>0 et P>0 vu que, même sur le plan purement mathématique, c'est clair qu'on ne sortira jamais de ce domaine .
Et sinon, les flèches, c'est pas trop ça :
- En dessous de Delta_H = vers la droite ; au dessus de Delta_H = vers la gauche.
- A gauche de Delta_P = vers le bas ; à droite de Delta_P => vers le haut.

Et sinon, as tu trouvé d'où provient (et/ou à quoi sert) la comparaison de avec ?

Sinon, ça :

Je me souviens qu'on faisait des choses comme l'étude de fonctions "distance" ou bien par exemple .

C'est un truc auquel j'ai pensé (je rappelle que j'y connais rien) mais en fait, ça me semble pas malin : à priori, à coup d'approximation avec des D.L. (à l'ordre 2), on va effectivement avoir des trucs quadratiques, mais je vois aucune raison particulière que ça fasse des cercles : le cas général, c'est des ellipses (ou des hyperboles) donc j'aurais plutôt opté pour du
avec "appropriés" au problème (et, si , le fait que tende vers 0 constitue une preuve que tend vers ).

[Lostounet]

Ben, juste une question (bête) avant de poursuivre:
Par exemple là j'ai essayé de dériver mon Psi afin de voir sous quelle condition on aurait par exemple Psi'(t) = 0.
Effectivement, il n'y a pas de raison que cela soit "possible" je comprends, en plus de l'apparition des termes croisés P(t)*H(t) assez gênants dans le calcul.

Par contre tu parles de DL, je n'ai toujours pas compris de quel DL il s'agit?
Moi je suis en train de regarder la dérivée première uniquement.

PS: En ce qui concerne le dessin oui, j'ai mis les deux droites au pif je vais essayer de rectifier. C'est assez gênant d'avoir que des coefficients quelconques de partout.

[Ben314]

Par contre tu parles de DL, je n'ai toujours pas compris de quel DL il s'agit?

Pour moi, vu qu'on étudie (au moins dans un premier temps) la tête des courbes intégrales "très proche de I" pour voir si elle continuent à se rapprocher de I ou pas, le D.L, c'est évidement celui de du champs vectoriel X au voisinage de I.
Aprés, reste à voir à quel ordre il faut faire le D.L. et surtout... à quoi on va s'en servir...