Salut,
si tout le monde intervient, alors je vais aussi m'y coller et donner mon opinion.
Perso, vu le contexte, le truc qui me parait quand même le mieux (et d'assez loin), c'est le truc de wiki:
Baylock a écrit:"Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les formes, les structures et les transformations. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne."
Il faudrait définir plus avant les mots "objets", "structures", "transformations". Ce qui risque d'impliquer d'autres définitions ultérieures etc...
Et concernant les "objections", mon opinion, c'est que :
- Les
objets a mon sens, ben y'a rien à définir vu le
divers qu'il y a derrière et surtout vu le
tels que ... qui donne une liste de ce que ça peut désigner dans le contexte.
-
Les nombres et
les formes je trouve ça extrêmement bien, surtout vu le public : les maths., clairement, à un niveau élémentaire c'est quasiment exclusivement du calcul et de la géométrie donc c'est "on ne peut plus parlant" pour le public.
-
Les structures, je trouve ça très très bien aussi : normalement c'est quand même pas mal "parlant" pour le commun des mortels, dans le sens que c'est (par exemple) la
structure d'un bâtiment (en béton armé ou avec des poutrelles métallique ou je sais pas quoi) en opposition avec "l'enrobage" (utilitaire ou décoratif) qu'on va mettre sur la structure. Mais c'est quand même la
structure qui explique pourquoi le bâtiment tient debout. Et d'un autre coté, quand un matheux cherche à dégager les
structures d'un ensemble donné (groupe/corps/anneau/e.v., etc...) a mon sens, c'est bien ça qu'on cherche à faire : dégager le "pourquoi" ça tient debout plutôt que de s'arrêter sur "les apparences" : les entiers relatifs et les polynômes à coeff. réels, l'
apparence c'est pas la même du tout, mais la
structure (anneau euclidien) est la même, un peu comme deux bâtiment qui sont à première vue très différent, mais qui en fait ont tout les deux "
la même structure", par exemple "à ossature bois" ou je sais pas quoi d'autre.
Et si tu veut donner un exemple mathématique pour comprendre ce qu'est une "structure", éventuellement (y'a peut-être mieux) tu peut parler des réels (ou "des nombres") et des vecteurs : c'est clairement pas la même chose du tout en apparence, mais si on regarde comment on les ajoute, c'est exactement les mêmes règles qui s'appliquent et tu peut même faire remarque que c'est du fait que c'est les même règle qu'on a fini par donner le même nom (addition) et noter de la même façon (avec un +) des opérations qui ne sont clairement pas les même vu que ça a aucun sens d'ajouter un vecteur avec un réel. Le but étant bien sûr de faire réagir concernant le fait que ce n'est pas parce que ça se note (+) et se prononce (addition) pareil que ça vérifie les même règle mais que c'est évidement "dans l'autre sens" que ça marche : c'est parce que ça vérifie les même règles qu'on a choisi d'appeler et de noter les deux trucs (différents) de la même façon.
- Et
Les transformation, pareil (voire encore mieux) : extrêmement "parlant" pour le commun des mortels, dans le sens "un four permet la
transformation de pâte à pain en pain" et c'est quasiment "le cœur" des mathématique où presque tout se résume à l'étude et/ou la recherche "d'applications" qui est le mot usité par les matheux pour parler de
transformation, mais qui est bien moins "parlant" pour pas mal de personnes. Et concernant des exemples de transformations (simples) en math, c'est pas ça qui manque : des exemples numérique concrets x->f(x) où l'application f transforme la donnée (concrète, avec unité) x en autre chose y, le fait de transformer un dessin en le traçant sur du papier calque puis en déplaçant le calque (=isométrie de R^2) ou en utilisant un truc style pantographe (=homothétie), ect, etc, etc
On peut même donner des exemples très simple de problème où le but est de
trouver une transformation qui vérifie certaines propriétés (=donner un exemple physique simple qui correspond à une équation différentielle)
Bref, je le redit, c'est de loin ça qui me semble le plus pertinent.
Et d'un autre coté, il y a aussi le fait que des trucs comme ton point 4. :
"Les mathématiques sont un ensemble de règles qui découlent d'un ensemble limité d'axiomes (énoncés que l'on considère comme vrais"Autant, sur le principe c'est plus ou moins vrai, autant dans la pratique, c'est quand même on ne peut plus réducteur :
- Si tu interroge des chercheurs en math. aujourd'hui et que tu leur demande "quel est le système d'axiome que vous utilisez dans votre recherche", ben je sais pas si tu aura toujours des réponse bien pertinentes (pose par exemple la question à... un statisticien... juste pour voir)
- Historiquement parlant, à part LA exception que constitue Euclide et ces "éléments" (et encore, quand il l'a écrit, y'a un paquet considérable de trucs qui avait déjà été démontré et qu'il a eu qu'à recopier en remplaçant les "il est évident que" par des "il découle de l'axiome bidule que"), ben sinon, la grande majorité des maths s'est faites sans axiomes, mais avec "du bon sens" (jusqu'à ce que, avec que "du bon sens" on tombe sur plein de paradoxes et qu'on soit obligé de faire le ménage : c'était plus ou moins vers le milieu/fin du 19em siècle qu'on a commencé à voir qu'il fallait clarifier le truc mais il y a évidement un paquet CONSIDÉRABLE de trucs qui ont été démontré avant)
- Pour le "commun des mortels" (et les élèves jusqu'à au moins un BAC+2 ou 3), cette histoire d'axiomes, je suis pas sûr que ce soit bien pertinent. Par exemple, le fait qu'il faille
démontrer des trucs du style "A+B=B+A" (pour des bètes entiers naturels) ou que "
si l'ensemble A est contenu dans B fini alors A est fini et il a moins d'élément que B" (avec une définition "carré carré" de ce que désigne les vocables "fini" , "contenu" et "nombre d'éléments"), ben je sais pas si c'est malin d'en parler trop tôt, non ?