Question réponse pour autodidacte

[christian57]

bonjour,

je suis autodidacte en math, enfin j'essaie. J'étudie la théo des ensembles et les bases de la topo.

J'ai une question quelle est l'intérêt ou plutôt qu'apporte l'associativité en plus par rapport à la commutativité pour la construction des corps.

Ensuite pourquoi l'associativité ne porte que sur trois élèments et pas quatre, cinq, six; quinze élèments.

Merci de vos réponses...

[pascal16]

sans associativité (2*3)*4 ne vaut pas forcément 2*(3*4). Les calculs sont alors très limités, on perd les facteurs communs, les résultats sur les polynômes...

Associer 2 éléments est suffisant pour en associer autant qu'on veut par récurrence.

[christian57]

peux tu me donner un exemple de corps qui est associatif mais pas commutatifs, ou alors c'est qu'un truc abstrait de matheux.

[zygomatique]

corps des quaternions ..., corps des octonions ... voir sur le net ...

[christian57]

ah ouai les quaternions d'Hamilton, le premier qui a introduit les vecteurs, et des corps commutatifs mais pas associatifs, ça existe ???

[christian57]

bonjour,

j'ai une question :

quelle est la différence entre le raisonnement par l'absurde et règle de réfutation :

Il convient de bien distinguer la règle de réfutation :

p → Faux, donc non(p), qui peut être prise comme définition de la négation,

de la règle de raisonnement par l'absurde :

non(p) → Faux, donc p qui est le raisonnement par l'absurde.


cela WIKI, la démonstration de l’irrationalité de racine de deux implique le raisonnement par réfutation et pas celui de l'absurde.

Mais moi je ne comprends plus rien.


Si je pose la proposition P="racine de deux est irrationnel" , alors je montre que (non P) implique Faux, alors P est vrai. C'est le raisonnement par l'absurde.

Mais si je pose P = "racine de deux est rationnel" (<=> racine de deux n'est pas irrationnelle), je montre que P implique Faux, alors c'est le raisonnement par réfutation.

C'est pareil, non, selon que l'on prenne comme proposition de départ une phrase avec une négation ou non.

Je suis perdu !!!

[yakamonéyé]

peux tu me donner un exemple de corps qui est associatif mais pas commutatifs, ou alors c'est qu'un truc abstrait de matheux.

Si on prend un petit gobelet A, un gobelet moyen B, et un grand gobelet C ; le gobelet B étant rempli d'eau et les autres vides : verser le contenu de A dans B, puis celui de A et B dans C, c'est pareil que verser le contenu de B dans C, puis celui de A dans B et C. Si on note * la loi "verser le contenu d'un ensemble de gobelets dans un autre", on a A*(B*C) = (A*B)*C, la loi est associative. Essayer avec des vrais gobelets pour s'en convaincre (ou les dessiner).

Par contre, verser le contenu de A dans B ne revient pas à verser celui de B dans A : la loi * n'est pas commutative.

On observe de telles propriétés de non-commutativité dans un tas de circonstances, lorsqu'on définit des lois autres que les lois usuelles qu'on connait telles que l'addition des entiers. Un exemple beaucoup plus simple que celui des gobelets : la division dans les R*, qui, elle, n'est ni associative ni commutative.

Ensuite pourquoi l'associativité ne porte que sur trois élèments et pas quatre, cinq, six; quinze élèments.

Généralement elle porte sur tout l'ensemble en question, mais la donnée de la relation entre trois éléments suffit à la décrire.

[yakamonéyé]

bonjour,
j'ai une question :
quelle est la différence entre le raisonnement par l'absurde et règle de réfutation

Le plus simple est de reprendre un cours progressif, qui sera plus simple à comprendre que des réponses en vrac par ci par là.
Par exemple : http://jeanromain.heu.free.fr/Algebre1.pdf

[christian57]

bonjour,

en fait, j'ai parfaitement compris ce qu'est le raisonnement par l'absurde. Ce que je ne comprend pas c'est que Wiki affirme que la démonstration de l’irrationalité de deux nécessite la règle de réfutation, alors que pour moi c'est par essence la démonstration par l'absurde, voir mon explication dans mon premier message.

Merci de vos réponses.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnem ... %27absurde

[Ben314]

Salut,

peux tu me donner un exemple de corps qui est associatif mais pas commutatifs, ou alors c'est qu'un truc abstrait de matheux.

Déjà et pour commencer, cette question c'est du "stupide de chez stupide" vu que c'est exactement la même chose que si tu demandait un exemple d'espèce animale qui soit un mammifère et dont la femelle n'allaite pas les petit.
Réponse : ça risque pas d'exister vu que par définition, les mamifères, c'est des espèces dans lequelles la femelle allaite ces petit.
De même, par définition, un corps, c'est un ensemble muni de deux lois + et x qui sont toute les deux associatives.

Sinon, l'associativité, c'est la "clef de voûte" de tout les calcul. On peut faire des trucs sans qu'il y ait d'inverse pour la multiplication (c'est ce qu'on appelle un anneau unitaire), voire sans neutre pour la multiplication (c'est un anneau tout court). On peut faire des tonnes de trucs avec une seule opération associative, avec neutre et symétrique, (ça s'appelle un un groupe), voir même sans symétrique (ça s’appelle un magma unitaire), voire même sans neutre (ça s’appelle un magma). Mais sans associativité, tu n'arrive à peu prés à rien au niveau calculs : y'a qu'a regarder du coté de la formule du "double produit vectoriel" pour voir le bordel que ça peut être. Et dans le cas des octonions (qui n'est pas un corps, mais uniquement une algèbre sur R), il sont "un peu" associatifs (la multiplication vérifie ce qu'on appelle "l'alternativité" qui permet au moins de définir les puissances d'un élément x sans ambiguïté du style de savoir si x^3 ça désigne (xx)x ou bien x(xx))

Et si l'associativité, c'est la "clef de voûte", c'est que dans tout ces ensembles "structurés", l'un des premier truc que l'on regarde, c'est la notion d'équation et que, si on a une unique opération noté par exemple *, LA équation de base, c'est A*X=B où A et B sont fixés et où on cherche X.
Et dans tout les ensemble "assez simples" connus : réels, fonction (avec la loi o), matrices, etc... LE truc qu'on dit systématiquement, c'est que si A est inversible (à gauche) d'inverse A' alors en multipliant par A' à gauche l'équation devient A'*(A*X)=A'*B et si tu veut aller plus loin, ben il faut obligatoirement que A'*(A*X)=(A'*A)*X de façon à pouvoir conclure que la seule et unique solution de l'équation c'est X=A'*B.