Lien entre les coefficients d'une équation différentielle

[Dudier]

Bonsoir,

Lors d'un de mes cours d'analyse, la prof a utilisé une propriété des équations quadratique dans une équation différentielle, mais je ne vois pas pourquoi c'est légitime.

(où p et q sont des coefficients constants réels)
réécrit en :
(où a et b sont les racines de l'équation quadratique)

Elle disait qu'on pouvait le faire comme pour les équations quadratiques, mais je ne comprend vraiment pas pourquoi c'est valide ici aussi. Je suis allé lui demander mais je n'ai pas du tout compris son explication

Merci d'avance

[TS2502]

Ce n'est qu'un hypothèse mais cela est peut-être lié au fait que pour résoudre ce type d'équation différentielle, on pose justement le polynôme caractéristique suivant : X²+pX+q
De ce fait, si on pose a et b ses racines, on aurait : p=-(a+b) et q=ab car on sait que la somme des racines est égale à l'opposé du coefficient en X et le produit est égal au coefficient q.
On obtiendrait alors la réécriture. Mais encore une fois, ce n'est qu'une hypothèse car je ne suis pas non plus excellente en maths ^^'

[Black Jack]

Salut,

Je ferais ceci :

Pour résoudre l'équation y'' + p.y' + q.y = 0, on est amené à chercher les racines de l'équation caractéristique r² + pr + q = 0

ces racines sont : (-p - (p² - 4q)^(1/2))/2 et (-p + (p² - 4q)^(1/2))/2
****

La somme des 2 racines vaut : S = (-p - (p² - 4q)^(1/2))/2 + (-p + (p² - 4q)^(1/2))/2 = -p

Le produit des 2 racines vaut P = (-p - (p² - 4q)^(1/2))/2 * (-p + (p² - 4q)^(1/2))/2 = (p² - (p² - 4q))/4 = q

avec a = (-p - (p² - 4q)^(1/2))/2 et b = (-p + (p² - 4q)^(1/2))/2 les racines de l'équation caractéristique, on a, avec les 2 lignes précédentes, p = -(a+b) et q = a.b

--> L'équation y" - (a+b)y' + a.b.y = 0 est équivalente à l'équation y'' + p.y' + q.y = 0 si a et b sont les racines de r² + p.r + q = 0

[Dudier]

Hmmm, après avoir cherché un peu sur wikipédia il semble que la prof n'ait pas mentionné ce qu'est une équation caractéristique et à quoi elle sert dans la résolution de l'équation différentielle (en tout cas ça n'apparais pas dans le support du cours). C'est la dessus que j'ai bugué en fait, je comprenais pas ce que faisait la l'équation quadratique...

Donc si j'ai bien compris wikipédia, l'équation caractéristique est polynôme du même degré que l'ordre de l'équation différentielle donnée et dont dépend la solution.

Mais... je ne comprend pas pourquoi ! je sais que ma question est probablement bête mais je ne vois pas le lien qu'il y a entre une équation différentielle d'ordre x et un polynôme du degré x, si ce n'est en me formatant à la théorie (peut-être que je ne suis pas assez avancé pour pouvoir répondre à cette question...).

J'ai bien compris que dans une équation quadratique, les coefficients sont liés par la formule de viet mais ce qui me gène c'est de ne pas comprendre pourquoi c'est légitime d'utiliser cette propriété pour des équations différentielles...


Désolé du pavé, j'ai l'impression de rester bloqué sur un truc élémentaire

[Black Jack]

Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme :

y = C1*e^(a.x) + C2.e^(b.x)
avec C1 et C2 des constantes.

Cherchons les relations devant exister entre p , q et a , b ...

y' = C1.a.e^(ax) + C2.b.e^(b.x)
y'' = C1.a².e^(ax) + C2.b².e^(b.x)

y" + py' + q.y = C1.a².e^(ax) + C2.b².e^(b.x) - p.C1.a.e^(ax) - p.C2.b.e^(b.x) + q.C1*e^(a.x) + q. C2.e^(b.x) = 0

C1.(a²+a.p+q).e^(a.x) + C2.(b²+p.b+q).e^(b.x) = 0

Et ceci quelles que soient les constantes C1 et C2 ---> on a obligatoirement :

a²+a.p+q = 0 (1)

b²+p.b+q = 0 (2)

a²+a.p+q = b²+p.b+q
a²+a.p = b²+p.b
a²-b² = p(b-a)
(a-b).(a+b) = -p(a-b)

Et sauf cas particulier où a=b, on a p = -(a+b)

et remis dans (1) --> a² - a(a+b) + q = 0

a² - a² - ab = -q

q = a.b

[Dudier]

Alors franchement...

Je sais pas comment te remercier ! Tout est clair maintenant pour moi

merci infiniment !!!!

[Black Jack]

Pas de quoi.

Dans mon message précédent, il y a la remarque "Et sauf cas particulier où a=b,..."

Juste un petit complément pour le cas où les 2 solutions de l'équation caratéristique (a et b) sont égales.

Dans un tel cas, les solutions sont de la forme y = (C1 + C2.x).e^(a.x)

On redémontre de manière similaire à ma réponse précédente que p = -2a et q = a²

Donc c'est OK aussi dans ce cas.

Attention quant même à la forme des solutions de l'équation différentielle dans ce cas particulier (a = b)

[Dudier]

Oui oui et aussi dans le cas où a et b sont des racines complexes faut bien choisir la constante pour retomber dans R grâce aux formules du sin/cos

Le truc que je pigeais pas c'est pourquoi c'était légitime d'utiliser une équation quadratique alors qu'on est dans une équation différentielle, et notre prof est allée dans le sens inverse de ton explication : en gros elle partait du polynôme de degré 2 pour arriver aux solutions générales, et je pigeais pas pourquoi elle sortait ces équations quadratiques de son chapeau...

Après les équations différentielles restent dans un domaine très complexe et je me dis que c'est normal que je puisse pas (encore?) comprendre d'où viennent les différents éléments qui permettent de résoudre même si ça continue de me faire me questionner