Intégrales

[steve08]

Bonjour je bloque sur un résultat à la question 3 du dernier exercice de mon DM. En effet, je ne trouve pas la même chose mais étant un vrai ou faux je pense malgré tout m'être trompé ...

On me demande VRAI OU FAUX :

e² (1-e²) < int(-xln(x), x) de e à e²< e²/2 (1-e²)

Ma piste de recherche :

- e²ln(e²) < - e ln(e) <=> -2e² < -e
donc -2e² < -xlnx < -e
et int (-2e²,x) de e à e² < int(-xlnx, x) de e à e² < int(-e, x) de e à e²
[-2xe²] de e à e² < int(-xlnx, x) de e à e² < [-xe] de e à e²

Est-ce une bonne piste de recherche ou suis-je totalement à côté ? Merci d'avance de votre aide

[Lostounet]

Bonjour,
C'est quoi cette virgule x dans "int(-xln(x), x)" ? Je n'ai jamais vu cette notation.

[steve08]

C'est le dx c'est une notation formelle employée chez casio ^^

[steve08]

Une idée quant à la piste de recherche ?

[Lostounet]

On me demande VRAI OU FAUX :

e² (1-e²) < int(-xln(x), x) de e à e²< e²/2 (1-e²)

Ma piste de recherche :

- e²ln(e²) < - e ln(e) <=> -2e² < -e
donc -2e² < -xlnx < -e

Pourrais-tu m'expliquer avec des mots ce que tu as fait ? Je n'arrive pas à comprendre ta démarche, en fait.

Comment passes-tu de à " -2e² < -xlnx < -e " ?

[steve08]

Oui j'ai encadré -xlnx en remplaçant x par e et x par e² on peut donc affirmer que -e²ln(e²)<-xln(x)<-eln (e) donc -2e² < -xln(x)< -e et ensuite j'ai encadré avec mes intégrales pour retomber sur ce qui m'étais proposé dans le vrai ou faux.

[Lostounet]

Oui j'ai encadré -xlnx en remplaçant x par e et x par e² on peut donc affirmer que -e²ln(e²)<-xln(x)<-eln (e) donc -2e² < -xln(x)< -e et ensuite j'ai encadré avec mes intégrales pour retomber sur ce qui m'étais proposé dans le vrai ou faux.

Ah... Mais dans ce cas il manque un argument essentiel ! Ce n'est pas parce qu'on intègre une fonction f sur [a ; b] que forcément . Quel est l'argument qu'il faut donner? Je te laisse réfléchir.

Sinon pour la suite, ton idée est bonne mais ... ce n'est pas assez ! Regardons:

Pour tout x dans [e ; e^2], on a:

Alors

Ainsi:


Par croissance de l'intégrale:




Soit:


Ce résultat est juste, mais pas celui de l'énoncé. Ce que tu viens de conclure c'est que l'intégrale en question est comprise environ entre (-69) et (-12).

L'énoncé te demande de montrer qu'elle est comprise entre environ on va dire (-47) et (-23), ce qui est plus "précis": ce qu'on a fait ne suffit pas à conclure.

[steve08]

J'ai exactement la même chose comment faire pour resserrer l'intervalle alors ?

[Lostounet]

J'ai exactement la même chose comment faire pour resserrer l'intervalle alors ?

Une méthode pourrait consister à calculer directement l'intégrale, qui est facile. Si tu as le droit d'utiliser casio (ou si tu as appris la technique de l'intégration par parties), tu peux prouver que est une primitive de la fonction x > x*ln(x). Ce qui permet de calculer explicitement l'intégrale souhaitée et donc de l'encadrer.

Une autre méthode, si tu veux rester dans le même esprit d'encadrement, serait d'encadrer la fonction de manière plus précise dès le départ. Tu as intégré en encadrant la fonction entre deux "constantes": tu as pour cela utilisé que xln(x) est croissante sur [e ; e^2]. Tu peux chercher un encadrement plus précis de la fonction xln(x) par exemple par deux droites. Je n'ai pas regardé quel serait le plus simple pour encadrer, mais la fonction est convexe sur [e ; e^2] ce qui permet de la minorer par toute tangente à sa courbe. Pour la majoration il suffit de majorer par la droite y = ax + b qui passe par e ;e^2

[mathelot]

on a:

[steve08]

Ah oui je vois mais pourquoi cet encadrement 1<ln x <2 ?
Etant -x ln(x) on obient donc -2x < -xlnx < -x ?

[mathelot]

Etant -x ln(x) on obient donc -2x < -xlnx < -x ?

il ne reste plus qu'à intégrer ces inegalités

[steve08]

Je suis en train de le faire je ne comprends juste pas pourquoi on part de 1<ln x<2

[mathelot]

si on encadre deux fonctions ça donne des égalités trop larges
si on intègre le produit ça donne le résultat donc une égalité trop stricte
si on intégre une fonction et que l'on encadre l'autre, on tombe sur le résultat

[steve08]

Oui mais ln(x) n'est pas compris sur [1;2] pour tout x ?

[mathelot]

si e<x<e^2
alors
1 < ln(x) <2

[steve08]

Ah oui merci beaucoup super