Inéquation

[Ahoud]

Bonjour
Voici l'énoncé
Résoudre dans [0;2pi] : 4cos²x -1>0

Où j'en suis:
cox>1/2 ou cosx> -1/2
cosx> cos Pi/3 ou cosx> 2Pi/3

Je trace ensuite un cercle trigonométrique pour trouver les solutions :
J'obtient S= [ 0; 2Pi/3 ] mais je ne suis pas sûr, l'ensemble de définition me gène.
Merci de l'aide

[Gregin18]

bonjour,

d'après ton inéquation lorsque tu trouves les valeurs de x tu dois avoir cos (x)<cos(pi/3) soit x=pi/3 ou -pi/3. Et donc tu obtiens S={0;pi/3}U{-pi/3;2pi}

[Lostounet]

Bonjour
Voici l'énoncé
Résoudre dans [0;2pi] : 4cos²x -1>0

Où j'en suis:
cox>1/2 ou cosx> -1/2

Salut,
Il y a une erreur ici déjà. Pourquoi cosx >1/2 ou cosx>-1/2

[Ahoud]

Il y a 2 familles de solutions lorsqu'il y a un carré dans l'inéquation non ?

[Gregin18]

Il y a 2 familles de solutions lorsqu'il y a un carré dans l'inéquation non ?

Oui tu as raison mais cela va revenir à la même chose puisque tu vas obtenir deux valeurs de x possibles. A partir de ces deux valeurs de x pour t'aider tu les places sur un cercle trigonométrique et tu regardes les solutions possibles sur {0;2pi}

[Gregin18]

Il y a 2 familles de solutions lorsqu'il y a un carré dans l'inéquation non ?

Oui tu as raison mais cela va revenir à la même chose puisque tu vas obtenir deux valeurs de x possibles. A partir de ces deux valeurs de x pour t'aider tu les places sur un cercle trigonométrique et tu regardes les solutions possibles sur {0;2pi}

( Comme la fonction cos est paire, les inéquations cos(x)>1/2 et cos(x)>-1/2 vont donner le même ensemble de solutions )

[Ahoud]

Les deux valeurs que j'obtient sont Pi/3 et 2Pi/3, est-ce bon ?

[Gregin18]

Les deux valeurs que j'obtient sont Pi/3 et 2Pi/3, est-ce bon ?

Non, tu confonds les formules cos(a)=cos(b) et sin(a)=sin(b).
l'une donne a=b+k2pi k appartenant à Z ou a = -b +k2pi
l'autre donne a=b+k2pi ou a = pi - b + k2pi

[Ahoud]

Ces formules sont utilisées pour résoudre des équations, pour les inéquations j'ai appris a utiliser un cercle trigo

[Lostounet]

( Comme la fonction cos est paire, les inéquations cos(x)>1/2 et cos(x)>-1/2 vont donner le même ensemble de solutions )

Je ne vois pas le rapport avec la parité du cosinus...

Il faut être méthodique surtout quand on a du mal.
Tu as que 4cos^2(x)-1>0 il faut avant toute chose factoriser puis faire un tableau de signe.

Car la manière d'éliminer le carré est trop rapide et fausse.

[Gregin18]

Ces formules sont utilisées pour résoudre des équations, pour les inéquations j'ai appris a utiliser un cercle trigo

pour résoudre une inéquation en trigonométrie tu as besoin des formules de trigo pour les équations car elles te permettent de les résoudre. En l'occurence ici elles te permettent de trouver les valeurs de x et donc l'intervalle que tu souhaites trouver. Comme je te l'ai dit précédemment, une fois que tu as les valeurs de x, tu les places sur un cercle trigo et tu trouves l'ensemble des solutions de ton inéquation.

[Ahoud]

x= 2Pi/3 ou x=-2Pi/3
x=Pi/3 ou x= -P/3 ?

[Lostounet]

Bonjour
Voici l'énoncé
Résoudre dans [0;2pi] : 4cos²x -1>0

Dans toute inéquation quand tu as un terme "au carré" (ou au cube..), il faut chercher à factoriser avant tout.

Ici, 4cos^2(x) - 1 est de la forme a^2 - b^2, avec a = 2cos(x) et b = 1.


Tu dois donc résoudre l'inéquation . Or un produit de deux facteurs est positif si et seulement si ces deux facteurs sont de même signe, c'est à dire tous les deux positifs ou tous les deux négatifs.

Donc ou bien on a: (2cos(x) - 1)> 0 ET (2cos(x) + 1) > 0
Ou bien on a: (2cos(x) - 1)< 0 ET (2cos(x) + 1) < 0

Dans le premier cas, tu cherches à résoudre deux inéquations:
(2cos(x) - 1)> 0 et (2cos(x) + 1) > 0.

La première te dit que cos(x) > 1/2, donc tu traces la droite verticale d'équation x = 1/2 et tu regardes les x tels que cos(x) est plus grand que cos(60). Vois-tu ?
Tu fais la même chose pour(2cos(x) + 1) > 0 qui équivaut à cos(x) > -1/2, tu la résous.
Ensuite tu fais l'intersection de ces deux solutions...

Tu passes ensuite au second cas, (2cos(x) - 1)< 0 ET (2cos(x) + 1) < 0 et tu fais la même chose.
La méthode est importante, même si ce n'est pas rapide...

[Lostounet]

pour résoudre une inéquation en trigonométrie tu as besoin des formules de trigo pour les équations car elles te permettent de les résoudre. En l'occurence ici elles te permettent de trouver les valeurs de x et donc l'intervalle que tu souhaites trouver. Comme je te l'ai dit précédemment, une fois que tu as les valeurs de x, tu les places sur un cercle trigo et tu trouves l'ensemble des solutions de ton inéquation.

Depuis quand est-ce qu'il faut résoudre une équation pour résoudre une inéquation...? Cela ne fait qu'induire en erreur les personnes qui ne s'en sortent pas...

[Ahoud]

J'ai donc :
Pour le premier cas : cosx>1/2 : S=[-Pi/3;Pi/3]
et cosx>-1/2 : S= [-2Pi/3;2Pi/3]
L'intersection des deux est donc [-Pi/3;Pi/3]

Pour le second cas : cosx<1/2 : S= [-Pi;-Pi/3]U[Pi/3;Pi]
et cosx<-1/2 : S= [-Pi;-2Pi/3]U[2Pi/3;Pi]
L'intersection des deux est donc : [-Pi;-2Pi/3]U[2Pi/3;Pi]

[Lostounet]

Salut,
C'est bien tu as compris la méthode !

Par contre, il y a un problème (qui se répète): on travaille pour x dans l'intervalle [0 ; 2pi].
C'est-à-dire que, cos(x) > 1/2 a pour solutions 0<=x<=pi/3 c'est d'accord, mais aussi 5pi/3<=x <= 2pi (au lieu de [-pi/3 ; 0].

Tu dois donc faire attention au fait que x ne varie pas dans [-pi;pi] mais dans [0; 2pi]. Vois-tu ce que je veux dire?

[Ahoud]

1er cas : [0;Pi/3]U[5Pi/3;2Pi]
2eme cas : [2Pi/3; 4Pi/3] ?

[Ahoud]

je ne suis pas sur pour le 2eme cas

[Lostounet]

1er cas : [0;Pi/3]U[5Pi/3;2Pi]
2eme cas : [2Pi/3; 4Pi/3] ?

J'ai trouvé la même chose !

Donc la solution à l'inéquation est la réunion de ces intervalles:

[Ahoud]

Merci beaucoup pour l'aide !