Projecteurs

[o2pubcy9]

bonjour excusez moi pour la définition d'un projecteurs je sais que p est un projecteurs si pop=p (la composition) 
si je considère m et n deux endomorphismes de E et que mon=nom=0(l'ensemble des fonctions linéaires) et que m+n=IdE 
pour montrer que Im m est inclue dans Ker n je dois prendre x dans Im n et montrer que x est inclue dans Ker m en utilisant les égalités au dessus. 
soit donc x appartenant à Im m (montrons que x appartient à Ker n) 
donc on peut choisir y appartenant à E tel que x=m(y) donc n(x)=nom(y) d'où n(x)=0(de l'ensemble des applications linéaires) donc x appartient à Ker n 
je pense que cette preuve est totalement fausse pouvez-vous me montrer comment faire svp ? 
j'essaye aussi de montrer que im n est inclue dans Ker m...

[o2pubcy9]

j'ai trouvé en fin de compte mais comment démontrer que m est la projection sur ker n parallèlement à ker m et que n est la projection sur ker m parallèlement à ker n svp ?

[Pseuda]

j'ai trouvé en fin de compte mais comment démontrer que m est la projection sur ker n parallèlement à ker m et que n est la projection sur ker m parallèlement à ker n svp ?

Bonjour,

Il faut montrer dans un 1er temps que Ker m et Ker n sont supplémentaires (en utilisant que x=m(x)+n(x) et la question précédente), soit :
- Ker m Ker n = {0} (si m(x)=0 et n(x)=0, alors ...)
- tout vecteur x se décompose en un vecteur de Ker m et un vecteur de Ker n.

[o2pubcy9]

bonjour, j'ai réussi à prouver que ker m et ker n sont supplémentaires mais après que faut-il faire svp ?

[Pseuda]

Après, l'écriture x = m(x) + n(x), avec m(x) appartient à Ker n et n(x) appartient à son supplémentaire Ker m, suffit à montrer que m est la projection sur Ker n parallèlement à Ker m. Et inversement.

[o2pubcy9]

donc je dois montrer que pout tout x appartenant à Ker n n(x)=idE et pour tout x appartenant à Ker m m(x)=0 et inversement ?

[Pseuda]

donc je dois montrer que pout tout x appartenant à Ker n n(x)=idE et pour tout x appartenant à Ker m m(x)=0 et inversement ?

Hum, si x appartient à Ker n, n(x)= ...

Reprenons. Ker m et Ker n sont supplémentaires, donc tout vecteur x se décompose de manière unique en x=y+z, y appartenant à Ker n et z appartenant à Ker m. Alors, m est la projection sur Ker n parallèlement à Ker m ssi m(x)=y pour tout x se décomposant de cette façon. Autrement dit dès qu'on écrit x=m(x)+n(x), avec m(x) et n(x) respectivement dans Ker n et Ker m supplémentaires, c'est que m est la projection sur Ker n parallèlement à Ker m.

Sinon, tu peux faire aussi comme tu le suggères, à savoir m est la projection sur Ker n parallèlement à Ker m ssi :
- pour tout x dans Ker n, m(x)=x,
- pour tout x dans Ker m, m(x)=0 (ça, c'est évident ).
C'est peut-être plus simple comme ça effectivement.