Géométrie dans l'espace

[Nonimamie19]

Bonjour,

Je suis en Terminale S et mon professeur de mathématiques m'a donné quelques exercices pour m'entraîner durant les vacances. Parmi ceux-ci, deux sont sur la géométrie dans l'espace.

Exercice 1:
ABCDEFGH est un cube. I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [HD]. On nomme K le point d'intersection du plan (AIJ) et de l'arête [CG]. On souhaite construire le plan (P) qui est parallèle au plan (AIJ) et passant par H.
1)En utilisant la section des plans (AIJ) et (P) par le plan (DCG), monterr que le plan (P) coupe le plan (DCG) suivant une droite (delta) qui est parallèle à (JK).
2)Montrer que le plan (P) coupe le plan (ADH) selon une droite (d) parallèle à (JA).
3)Tracer la section du cube par le plan (P). Préciser la nature du polygone obtenu. Justifier.

Exercice 2:
SABCD est une pyramide régulière à base carré. On note I le centre du carré ABCD.
1)Montrer que la droite (AC) est orthogonale aux droites (BD) et (SI).
2)En déduire que les plans (SAC) et (SBD) sont perpendiculaires.

Voici mes réponses :

Exercicice 1:
1)Si K' est l'intersection de (P) avec la droite (CG) alors la droite (HK') appartient au plan (P)
La droite (JK) appartient au plan (AIJ).
Comme ces deux plans sont parallèles , les droites aussi, car elle appartiennent au même plan (DCG).

2)Si K' est l'intersection de (P) avec la droite (CG) alors la droite (HK') appartient au plan (P)
La droite (JA) appartient au plan (AIJ). Puisque ces deux plans sont parallèles, les droites le sont aussi car elles appartiennent au plan (ADH).

3)Merci de m'aider pour la construction, je ne vois pas comment faire.

Exercice 2:
1) (BD) est perpendiculaire à (AC) car ABCD est un carré. (SI) est perpendiculaire au plan (ABC) donc à (DB). Il en résulte que (DB) est perpendiculaire au plan (AIS), donc à toute droite de ce plan et en particulier à (AS).

2) On a (SI) qui est inclus dans le plan (SAC) et (SI) qui est inclus dans le plan (SBD). Par définition, le plan (SAC) est perpendiculaire au plan (SBD) puisque deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite qui est perpendiculaire à l'autre.

Merci de m'apporter un peu d'aide

[Nonimamie19]

Je n'arrive pas à insérer les figures ...

[pascal16]

1 et 2 :

(AIJ) et (P) sont parrallèles.
leurs intersections avec la face EHDA sont deux droites parallèles entre elles donc (EH)//(AJ)
leurs intersections avec la face HGCD sont deux droites parallèles entre elles donc (IK)//(delta)
Il faut donc tracer ces deux droites , on s’arrête à l'intersection avec les arêtes de la face concernée à chaque fois.
On se sert des points d'intersection avec les arêtes pour tracer les deux cotés manquants de P.

3)Tracer la section du cube par le plan (P). Préciser la nature du polygone obtenu. Justifier.
-> aucun angle n'est à angle droit (effet 3d d'un angle droit).
le cotés opposés sont-ils parallèles (donc comment a-t-on construit le point k )?

[pascal16]

1) (BD) est perpendiculaire à (AC) car ABCD est un carré.
-> c'est vrai mais tu n'expliques pas la cause.
[BD] et [AC] sont les diagonales de ABCD, qui est un carré. Les diagonales d'un carré étant perpendiculaires entre elles, les droites ...

(SI) est perpendiculaire au plan (ABC) donc à (DB). Il en résulte que (DB) est perpendiculaire au plan (AIS), donc à toute droite de ce plan et en particulier à (AS).
-> il y a plusieurs façon, la plus propre est celle guidée par le 1), tu dois d'abord dire que (SI) est la hauteur issue de S par construction donc perpendiculaire à (ABC) dans ta démo, sinon, elle repose sur rien.

la droite (AC) est orthogonale aux droites (BD) et (SI).
en particulier (SI) est orthogonale aux droites (BD) et (AC), deux droites distinctes du plan (ABC), donc est perpendiculaire au plan (ABC).
(SI) fait partie du plan (SBD), le plan (SBD) se trouve alors perpendiculaire au plan (ABC) lui aussi.

Les exigences de rédaction sont variables d'un prof à un autre, ne prend pas forcément ma rédaction comme parole d’évangile.

[Nonimamie19]

Après avoir tracée la figure, j'obtiens un cube ... Est-ce cela ?

[pascal16]

la section d'un cube avec un plan est une surface plane, pas un volume 3D.

vu de loin, c'est pas un carré car les angles ne sont pas des angles droits.

[Nonimamie19]

Oui, on obtient un rectangle ... Mais comment le démontrer ?

[Nonimamie19]

HPMN est un parallélogramme car c'est un quadrilatère dont 2 côtés sont parallèles et de même longueur.
Comment justifier les côtés parallèles et de même longueur ?

[pascal16]

le parallèle, tu l'as démontré dans ta construction.
de même longueur : on peut s'en sortir en faisant une translation et en raisonnant dans un plan.

[Nonimamie19]

On sait que (IK) est parallèle à (AJ). Or, le plan P est parallèle au plan (AIJ) donc (HN) est parallèle à (MP) ??
Par définition, (HN) est parallèle à (MP) (ils sont sur les arêtes du cube) donc HN = MP.

[Nonimamie19]

Si un plan (NHM) est sécant à 2 plans parallèles (EHD) et (FGC), alors les droites (HN) et (MP) sont parallèles.
Si un plan (EHD) est sécant à 2 plans parallèles (HGC) et (EFD), alors les droites (HM) et (NP) sont parallèles.
Or, si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c'est un parallélogramme.
Par conséquent, HMNP est un parallélogramme.

Est-ce que cela suffit ?

[pascal16]

reste à savoir si c'est en plus en losange (4 coté de longueur identique).
et si en plus c'est un carré.

[Nonimamie19]

Mais j'ignore comment démontrer si des côtés sont de même longueur !

[Nonimamie19]

Pourriez-vous m'aider ? Comment puis-je montrer que ce n'est ni un losange ni un carré ?

[Nonimamie19]

Est-ce que ça fonctionne si on dit que la longueur de JK est différente de celle de JA. Comme les plans sont parallèles, les côtés consécutifs HN et HM ne sont pas de la même longueur. Ce n'est pas un losange. Est-ce incomplet ?

[chan79]

Est-ce que ça fonctionne si on dit que la longueur de JK est différente de celle de JA. Comme les plans sont parallèles, les côtés consécutifs HN et HM ne sont pas de la même longueur. Ce n'est pas un losange. Est-ce incomplet ?

Avec Pythagore, calcule les longueurs des côtés et tu verras bien.

[Nonimamie19]

Mais je n'ai aucune longueur au départ !
Ais-je le droit de mesurer ma figure ?

[Nonimamie19]

En mesurant, j'ai NP²=6² et NO²+OP²=4.8²+3.9²
Ce n'est pas égale donc les diagonales ne sont pas perpendiculaires, ce n'est pas un losange ...
Mais je peux utiliser mes propres mesures ???

[pascal16]

tu peux imposer que l’arrête fasse 1.
tous les cubes sont identiques, à un facteur d'échelle près.

Geogebra 3D trouve 1.03 et1.12, donc c'est un simple parallélogramme (les noms de points ne sont pas bons)

[Nonimamie19]

Merci beaucoup mais comment puis-je le montrer à la main ?