équation différentielle

[lebuis]

Bonjour
L'étude de la chute d'un arbre, (pivotement) m'a amené à résoudre une équation de la forme :

voir fichier joint.

La résolution n'est pas simple.

Comment la résoudre avec un tableur de façon numérique ?

Merci par avance.

[mathelot]

passe ta pièce jointe sur le site cjoint.com

[lebuis]

Bonsoir
Merci de vous intéresser à mon problème.
Je n'arrive pas à joindre mon fichier avec l'onglet dédié. Si je passe par votre site (mathelot), je ne peux pas non plus. Je dois être en dessous de la moyenne !
Je vais écrire l'équation de façon triviale.

(téta)'' en dérivée seconde -Acos teta =0
téta est f(t)
merci de me donner des pistes de travail.
Cordialement

[pascal16]

Je ne sais pas s'il y des solutions facilement exprimables, mon logiciel de calcul formel cale.

Il y aurait le calcul par élément fini de possible.
de plus, si on part d'un position verticale... d'équilibre, il va donc falloir d'abord lui donner une pichenette pour que la solution ne soit pas une fonction constante.

Le développement polynomiale (qui semble étonnamment faisable ici)

Le développement en série de Fourrier (on est pas cyclique, il y a sans doute mieux, il faut retrouver le tableau qui va bien pour savoir quelle transformation utiliser Lagrange/Fourrier(s)/Y)

[mathelot]

On peut intégrer une fois de la manière suivante:

on multiplie par

on intégre


ou
l'équation est à variables séparées

[Black Jack]

Cela ne change pas grand chose, me semble-t-il, à la difficulté.

D'après Wolfram, la solution utilise alors une "intégrale elliptique de deuxième espèce de paramètre m = k²"

Une manière de s'en tirer est une résolution numérique via un tableur ...
Mais il faut alors recommencer à chaque modification de valeurs numériques d'une donnée initiale (theta(0) et theta'(0) par exemple)

[Ben314]

Salut,
Perso, les équation différentielles, c'est tout sauf a tasse de thé, mais il y a quand même un truc qui me semble louche : le "Acos teta" qui apparaît dans la prose de lebuis, vous êtes sûr que c'est où est une constante et pas ?

Perso, j'aurais pensé que c'était plutôt du "ArcCos" vu que le fait de penser à préciser un truc du style "theta est une fonction de t" me fait supposer que lebuis n'est plus dans le système scolaire depuis un moment (le système actuel, très clairement, ce qu'il incite à faire, c'est surtout à ne jamais préciser qui est qui quand on écrit une quelconque équation mathématique...) donc si c'était du , ça me semble bizarre que lebuis n'ait pas rédigé correctement le bidule en écrivant dans la foulée "où A est une constante (réelle) connue".

[mathelot]

@Ben
tu as raison sur le fond. Néanmoins,en se guidant sur les notations , est un angle plutôt qu'un cosinus donc on en considère l'image par cos() plutôt que l'image par arccos()

[pascal16]

on a pas plutôt :
(teta')² -Acos teta = constante

car 1/2 mr ω² - mgr cos θ = Em=constante
et ω= dθ/dt

truc trop compliqué pour moi :
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/synophys/133exmso/133exmso.htm

[mathelot]

l'équation est à variables séparées

on multiplie haut et bas par

en posant

[Black Jack]

Salut,

A mon avis, ce n'est pas Arccos() mais bien A * cos( )

Si on résout le problème de la chute d'un arbre assimilé à un cylindre de hauteur H, hors frottement ... on arrive à l'éq :



avec alpha l'angle entre le tronc et l'horizontale.

...

[mathelot]

en posant



ce que je ne comprend pas, c'est qu au début on avait une equa diff et maintenant on a une equation fonctionnelle

[Black Jack]

Dans mon message précédent, lire :

hauteur L et pas hauteur H.

[lebuis]

Bravo Black jack !
C'est effectivement le problème auquel je me suis attaqué. C'est bien l'équation finale en tenant compte du moment d'inertie et en négligeant les frottements of course.
Je reconnais que mon écriture ait pu poser problème car je ne maîtrise pas l'outil (Latex) qui permet d'écrire avec le bon formalisme. C'est la raison pour laquelle j'avais joint sans succès un fichier (scan) dans lequel il y avait la formule écrite à la main.
Bref
J'en reviens à ma question initiale comment peut on faire avec un tableur (open office) pour approcher la solution ?
Merci beaucoup !
Cordialement

[Black Jack]

Bien sûr, on peut faire acec un tableur sur Open Office, par exemple :



Formules à entrer dans les cellules :

I2 : =SOMME(G7:G1007)
A7 : 0
B7 : =B2
C7 : =COS(B7)
D7 : =-6*$F$2/$E$2*C7
E7 : = C2
F7 : 0
G7 : 0

A8 : =A7+0,02
B8 : =B7+E8*0,02
C8 : =COS(B8)
D8 : =-6*$F$2/$E$2*C8
E8 : =E7+D7*0,02
F8 : =SI(OU(B8<0;F7<>0);1;0)
G8 : =SI(ET(F7=0;F8=1);A8;0)

On sélectionne avec la souris les cellules depuis la A8 jusque la G8 ...
On tire cette ligne vers le bas (par la poignée) jusque la ligne 1007
****************

Dans la cellule B2, on entre l'angle (en radians) de départ (il doit être un peu < Pi/2)
Dans la cellule C2, on entre la vitesse angulaire de départ (en pratique, on met 0)
Dans la cellule E2, on entre la hauteur de l'arbre (en m)
Dans la cellule F2, on entre la valeur (SI) de g : soit par exemple 9,8
*****************

La durée de chute s'affiche dans la cellule I2
*****************

Remarque :

Au début de la chute, la vitesse de rotation est très faible.
Et donc la durée totale de la chute est fortement impactée par l'angle initial (avec l'horizontale) qu'on entre dans la cellule B2... il faut en tenir compte.

[lebuis]

Merci Black Jack , je vais étudier la solution que vous me proposez.
C'est sympathique de trouver des gens qui savent et qui aident.
Cordialement