Bonjour à tous,
j'aurais besoin de votre aide pour la dernier question d'un exo :
Pour tout x réel positif, F(x) = .
1) Montrer que F(x) est continue sur R*+.
F(x) localement intégrable sur .
On note x -> f(x,t) = . Cette fonction est continue sur .
De plus, , en prenant ,.
Donc F continue sur R*+.
2) Démontrer que pour tout x appartenant à R*+,
On primitive (arctan) et on trouve pi/2, immédiat.
3) Justifier la convergence de .
On note f(t) = .
On étudie cette intégrale sur les intervalles ]0;1] et [1;+inf[.
Pour [1,+inf[, on étudie : .
Cela fait 0 ; comme 1.5 > 1 et limite=0, l'intégrale converge.
Pour ]0;1] :
En 0, la fonction f(t) est équivalente à 1/2, et . Donc l'intégrale converge
Donc converge.
4) Établir que : . En déduire la limite de F(x) en +inf.
C'est là que je bloque.
J'ai dit que : .
J'imagine que la limite est 0, mais je n'arrive pas trouver la fin du raisonnement (ça doit être évident en plus).
Merci pour votre aide par avance.