Intégrale impropre

[pierre33]

Bonjour à tous,

j'aurais besoin de votre aide pour la dernier question d'un exo :

Pour tout x réel positif, F(x) = .

1) Montrer que F(x) est continue sur R*+.

F(x) localement intégrable sur .

On note x -> f(x,t) = . Cette fonction est continue sur .

De plus, , en prenant ,.

Donc F continue sur R*+.

2) Démontrer que pour tout x appartenant à R*+,

On primitive (arctan) et on trouve pi/2, immédiat.

3) Justifier la convergence de .

On note f(t) = .
On étudie cette intégrale sur les intervalles ]0;1] et [1;+inf[.
Pour [1,+inf[, on étudie : .
Cela fait 0 ; comme 1.5 > 1 et limite=0, l'intégrale converge.

Pour ]0;1] :
En 0, la fonction f(t) est équivalente à 1/2, et . Donc l'intégrale converge

Donc converge.

4) Établir que : . En déduire la limite de F(x) en +inf.

C'est là que je bloque.

J'ai dit que : .

J'imagine que la limite est 0, mais je n'arrive pas trouver la fin du raisonnement (ça doit être évident en plus).

Merci pour votre aide par avance.

[Pseuda]

Bonsoir,

Tel quel, je n'ai pas vérifié la véracité de l'inégalité du 4(, mais on ne peut rien en déduire ? L'intégrale converge vers du positif, donc |F-pi/2| < +oo, on n'est pas très avancé.

[Ben314]

Salut,
Vu le "en déduire", il y a clairement une faute de frappe dans l'énoncé et il faut lire "En déduire la limite de F(x) lorsque x tend vers 0"

[pierre33]

on n'est pas très avancé.

Oui c'est bien ce que je me disais.

il faut lire "En déduire la limite de F(x) lorsque x tend vers 0"

Je te remercie.
Donc en 0 la limite est pi/2.

Merci à vous.

[Ben314]

Sinon, et sauf erreur, la limite de F en +oo, c'est 0, mais c'est pas complètement évident. (et ça n'a rien à voir avec la majoration du 4.).

[pierre33]

Oui tout à fait ; en réfléchissant un peu on peut se convaincre que la limite est 0 (mais rien à voir avec la majoration je suis d'accord).