Un nombre

[Dacu]

Bonsoir à tous,

Montrer que le nombre est irrationnel pour tout .

Cordialement,

Dacu

[sylvain258]

Salut,

Pas eu le courage de m'y pencher, mais ce serait sympa de mettre la solution.

Merci

Sylvain

[aviateur]

Bonjour
Soyons clair: c'est une question de niveau lycée.
Dacu demande de l'aide o alors c'est une énigme?

[Elias]

Je pense que c'est une vraie question mais elle n'est pas niveau lycée vu les anciens posts de Dacu.
Pour n=2 et 3, c'est pas très dur. Pour les autres valeurs de n, j'ai pas encore trop d'idées.

[aviateur]

Oui c'est cela. Cela serait bien que Dacu pose sa question au bon endroit. A priori c'est une question difficile (mais intéressante.)

[aviateur]

Rebonjour posons
alors
La question est donc montrer que n'est pas rationnel.
Si est rationnel alors son carré aussi
Ce qui implique
Mais et
et y rationnel (donc rationnel) impliquent
est rationnel . ce qui est faux , contradiction.....

[Dacu]

Rebonjour posons
alors
La question est donc montrer que n'est pas rationnel.
Si est rationnel alors son carré aussi
Ce qui implique
Mais et
et y rationnel (donc rationnel) impliquent
est rationnel . ce qui est faux , contradiction.....

Bonjour ,

Je n'ai pas compris votre raisonnement.
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Si les numéros et sont irrationnels , alors comment peuvent-ils être , et ?
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Le problème proposé a été publié sur un forum de mathématiques en Roumanie , pour la classe X de lycée.
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Le raisonnement d'un professeur de mathématiques:
Supposons que où et si et où et , alors nous pouvons écrire que .Soit , alors vérifiez la récurrence pour .Comment , alors et .Parce que et , alors par induction tous .En particulier , ce qui est évidemment faux .
Ce raisonnement est correct?

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour @Dacu
Je suis d'accord avec cette démonstration que tu donnes, elle est correcte. Mais la mienne aussi est bonne.
Par contre je ne peux pas répondre à ta question car je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

[Pseuda]

et y rationnel (donc rationnel) impliquent
est rationnel . ce qui est faux , contradiction.....

Bonjour,

Je ne vois pas comment tu passes de rationnel à est rationnel. Il faut certainement développer avec la formule du binôme, mais quand même.

[Dacu]

Bonjour @Dacu
Je suis d'accord avec cette démonstration que tu donnes, elle est correcte. Mais la mienne aussi est bonne.
Par contre je ne peux pas répondre à ta question car je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.

Salut,

Je pense que la démonstration de ce professeur de mathématiques n'est pas bonne parce que la solution de l'équation est où et sont deux paramètres et pour nous obtenons et ce qui signifie que ce qui peut être vrai pour un .

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour
Pour répondre à @pseuda
y=a+b appartient à Q avec ab=1.
y^2=a^2+b^2+2a b donc a^2+b^2 appartient à Q
y^3= a^3+b^3+3ab (a^2+b^2) et a^3+b^3 appartient à Q
(cela ressemble beaucoup à la preuve du prof de Dacu.. ) sauf que je n'ai pas mis la forme par manque de temps...
On arrive ainsi à a^n+b^n rationnel et puis racine( de truc ) rationnel
et puis je viens de voir la remarque de @ben qui confirme que la preuve du prof est bonne

[Ben314]

Salut,

Je pense que la démonstration de ce professeur de mathématiques n'est pas bonne parce que la solution de l'équation est où et sont deux paramètres et pour nous obtenons et ce qui signifie que ce qui peut être vrai pour un .

La preuve proposée par le professeur est parfaitement correcte et je comprend pas ce que tu bricole :
Tes c1 et c2, ben on sait dès le départ (et par définition) qu'ils sont tout les deux égaux à 1 et le fait que les Sk sont tous rationnels (si r est rationnel) ne se déduit évidement pas de la forme explicite , mais par contre, c'est évident au vue de la formule de récurrence (avec et rationnels)

[chan79]

Le raisonnement d'un professeur de mathématiques:
Supposons que où et si et où et , alors nous pouvons écrire que .Soit , alors vérifiez la récurrence pour .Comment , alors et .Parce que et , alors par induction tous .En particulier , ce qui est évidemment faux .
Ce raisonnement est correct?

Cordialement,

Dacu

salut
Pour moi, c'est correct

[Dacu]

Bonjour à tous,

Soit .Si nous notons , alors il s'ensuit que .Supposons que , alors il s'ensuit que , mais ce qui signifie que et finalement il s'ensuit que .

Cordialement,

Dacu

[chan79]

Bonjour à tous,

Soit .Si nous notons , alors il s'ensuit que .Supposons que , alors il s'ensuit que , mais ce qui signifie que et finalement il s'ensuit que .

Cordialement,

Dacu

Bonjour
Ce que tu mets là ne va pas.
Ce n'est pas parce que deux nombres sont irrationnels qu'il en est de même pour leur somme.
Exemple et
Ici, le fait que a et 1/a soient irrationnels n'entraîne pas qur N est irrationnel.
Le démonstration de ton professeur est correcte, et astucieuse.

[Pseuda]

Bonjour
Pour répondre à @pseuda
y=a+b appartient à Q avec ab=1.
y^2=a^2+b^2+2a b donc a^2+b^2 appartient à Q
y^3= a^3+b^3+3ab (a^2+b^2) et a^3+b^3 appartient à Q
(cela ressemble beaucoup à la preuve du prof de Dacu.. ) sauf que je n'ai pas mis la forme par manque de temps...
On arrive ainsi à a^n+b^n rationnel et puis racine( de truc ) rationnel
et puis je viens de voir la remarque de @ben qui confirme que la preuve du prof est bonne

Bonjour,

Ok, donc tu démontres par récurrence et transformation de l'écriture binomiale (fonction des a^k+b^k pour k<=n et de ab=1). Cela doit revenir quelque part à la preuve du prof.

[Ben314]

Ya effectivement des tonnes de façon de généraliser et/ou de voir le bidule de façon plus théorique :
- Déjà, de façon générale, le résultat "de base" concernant les polynômes symétriques dit que, vu que est un polynôme symétrique à coeff. dans l'anneau , il existe un polynôme en deux variable lui aussi à coeff. entier tel que ce qui bien entendu signifie que, si et sont tout les deux rationnels (voire tout les deux entiers) alors est rationnel (voire entier) pour tout .
- Le cas particulier d'application du théorème çi dessus aux polynômes en k variables de la forme est bien connu et les liens qu'il y a entre les et les polynômes symétriques élémentaires en k variables s'appellent les identités de Newton.

Bien sûr, c'est pas la peine de connaître tout ça pour comprendre la preuve en question, mais un peu de recul, ça ne fait jamais de mal...

[Dacu]

Bonjour à tous,

Soit .Si nous notons , alors il s'ensuit que .Supposons que , alors il s'ensuit que , mais ce qui signifie que et finalement il s'ensuit que .

Cordialement,

Dacu

Bonjour
Ce que tu mets là ne va pas.
Ce n'est pas parce que deux nombres sont irrationnels qu'il en est de même pour leur somme.
Exemple et
Ici, le fait que a et 1/a soient irrationnels n'entraîne pas qur N est irrationnel.
Le démonstration de ton professeur est correcte, et astucieuse.

Bonjour,

Aucune infraction , mais votre exemple n'est pas concluant dans le cas du problème proposé ...Comment este la somme des nombres et ?

Cordialement,

Dacu

[chan79]

et finalement il s'ensuit que .

Il se peut qu'en ajoutant un irrationnel et son inverse, on trouve un rationnel

[Dacu]

et finalement il s'ensuit que .

Il se peut qu'en ajoutant un irrationnel et son inverse, on trouve un rationnel

Bonjour,

S'il vous plaît excusez moi , mais je ne comprends pas!Quel genre d'exemples donnez-vous?Je ne vois aucune connexion entre ce dernier exemple et l'énoncé du problème.Par exemple , quel genre de numéro est le numéro ?
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Si , , alors comment est-ce possible ?

Cordialement,

Dacu