Problème intégrale impropre/séries (L1, cours d'analyse)

[Yezu]

Bonjour,

Je viens d'arriver sur le forum, et c'est pour la première fois que je vais poser une question.

J'ai un exercice à réaliser : les questions sont courtes, la question sur laquelle je block c'est de trouver une fonction f(x) positive, tel que :
La série f(n) pour n allant de 0 allant à l'infini diverge
ET
l'integrale de f(x) pour x allant de 0 à l'infini converge.

J'ai trouvé une fonction qui respecte les conditions dans le sens inverse.

Je dois avouer quelque chose : je n'ai jamais fait de cours sur les séries, donc après quelques recherches, j'ai trouvé qu'une série diverge si la limite du terme général en l'infini était différente de 0.
Et la condition pour laquelle l'intégrale et la série sont équivalents c'est la décroissance, la continuité et la positivité de la fonction.

Il faudrait donc trouver une fonction croissante (ou oscillante), qui ne converge pas vers 0 en +infini, positive. Concernant la continuité, j'ai trouvé une fonction continue par morceaux qui répond au problème : f(x) = 1 si x est un entier naturel, et f(x) = 0 sinon (sur [0, +inf[ ), mais mon professeur m'a dit que la continuité sera fortement privilégié dans le problème ...

Une fonction continue, croissante (ou oscillante), qui ne converfe pas vers 0 en +infini, positive et continue qui respecte l'énoncé; je dois avouer que après avoir tracé près de 100 graphiques différent je ne vois pas ... je ne sais pas s'il s'agit d'une fonction triviale (très simple) ou au contraire très compliquée ...

Merci d'avance pour l'aide !

[Ben314]

Salut,

...j'ai trouvé qu'une série diverge si la limite du terme général en l'infini était différente de 0.

Déjà faire bien gaffe : si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série diverge (on dit même qu'elle "diverge grossièrement") mais ce n'est pas du tout une équivalence : il y a des tonnes de séries dont le terme général tend vers 0 et qui sont divergente (la plus connue étant sans doute la somme de 1/n pour n >= 1 )

Concernant la continuité, j'ai trouvé une fonction continue par morceaux qui répond au problème : f(x) = 1 si x est un entier naturel, et f(x) = 0 sinon (sur [0, +inf[ ), mais mon professeur m'a dit que la continuité sera fortement privilégié dans le problème ...

C'est effectivement une très bonne idée et il n'y a pas grand chose à changer pour obtenir une fonction continue : sur le graphe (= la courbe) de la fonction au lieux de "sauter" directement à 1 lorsque x est un entier naturel, il suffit de faire un segment de droite montant (de 0 à 1) puis un autre redescendant (de 1 à 0) autour de l'entier naturel en question pour que la fonction devienne continue.
Et comme on veut que l'intégrale soit convergente, c'est à dire que la surface "sous la courbe" soit finie, il faut que la somme des aires des triangles que forme la courbe soit finie, donc que les triangles aient une aire de plus en plus petite (et assez rapidement décroissante pour que la somme reste finie). Comme la hauteur de ces triangle est constante (égale à 1), il faut jouer sur la largeur à la base pour que ça marche.

A toi de mettre ça en forme "propre".

P.S. : Après, si ça t'amuse, tu peut aussi essayer de trouver une fonction f définie par "une formule" f(x)=... qui donnerait un exemple : il faut bien regarder le premier exemple (avec des triangles) et voir comment obtenir plus ou moins la même chose avec une fonction f(x)=...

[pascal16]

du (cos^2(2pi* x))^x, ça le fait pas ?

[Pseuda]

du (cos^2(2pi* x))^x, ça le fait pas ?

Bonsoir,

Cette fonction n'est pas définie aux points x=(2n+1)/4, n entier. Mais l'idée est là, il faut juste la prolonger par continuité en ces points-là. L'écrasement se fait sur les valeurs strictement comprises entre 0 et 1 élevées à une puissance de plus en plus grande.

[Ben314]

Je suis à peu près sûr qu'effectivement , un truc du style f(x)=(cos²(x))^??? avec un exposant qui tend assez vite vers l'infini, ça doit marcher, mais vu que ça m’étonnerais qu'on puisse trouver une primitive d'un truc pareil, pour montrer la convergence (et trouver qui mettre en exposant), il risque de falloir faire du "coupage de epsilon en rondelle".

@Pseuda : effectivement, formellement parlant, la fonction a^x=exp(x.ln(a)) n'est pas définie en a=0, mais pour les x>0, ça se prolonge gentiment par continuité avec 0^x=0.

@pascal : Tu as une idée de preuve concernant le fait qu'un exposant égal à x ça serait suffisant pour rendre le bidule convergent ?

[Pseuda]

Peut-être qu'en travaillant sur les intervalles ]n, n+1[ où le cos est <1, donc le ln <0, on peut obtenir une majoration M(n) de l'intégrale sur l'intervalle, qui donnerait une somme convergente sur N.

[Yezu]

Salut tout le monde. Merci beaucoup pour vos réponses.

Je vois bien comment modéliser la fonction pour des triangles de largeur constante, avec deux droites dont l'équation serait facile à déterminer, et 0 partout ailleurs.
En gros, si on prend des intervalles centrés sur les entiers naturels non-nuls avec un écart au centre arbitraire de 1/2 par exemple, on a :
pour n dans N* :

f(x) = (c'était pas vrai ce que j'avais ecrit, je corrige après)

Mais je ne vois pas comment insérer le fait que la largeur décroît de plus en plus.
Aussi, je me demandais si l'utilisation de la notation fn(x) était nécessaire pour résoudre le problème, car meme dans mon exemple, je mets des n un peu partout, mais je ne sais pas comment expliquer que ça s'applique à tous les n dans N et que c'est "récurssif".

Merci encore pour les coups de pouce !

[Pseuda]

Bonjour,

Pour prendre en compte que la largeur décroit, tu peux prendre des intervalles centrés en n : [n-1/2^n, n+1/2^n]. Pour la notation fn(x), elle s'utilise pour une suite de fonctions indexées par n, ici c'est f(n), cela ne semble pas être pareil !

Sinon, la fonction (cos^2(2pi* x))^x ne semble pas faire l'affaire (se munir d'une calculatrice), car sur l'intervalle [n, n+1], son intégrale est supérieure à 1/n (au moins pour des petites valeurs de n).

L'intégrale de la fonction (cos^2(2pi* x))^(x^2) converge beaucoup plus vite.

[Ben314]

En fait, si on reste dans de la majoration "basique", c'est relativement simple :
Si alors est convergente ssi la série de terme général est convergente.
Or si on prend une suite de réels on a la majoration "basique" :
où est le sup de sur qui va (modulo quelques hypothèse de régularité sur ) être du "grand O" de et donc du "grand O" de .
Bref, le but est de se débrouiller pour que les séries de terme général et soient toute les deux convergentes.
Sauf erreur, si on prend avec et avec , ça marche.
Donc avec où , ça marche et je pense qu'en raffinant un peu les majoration, on doit pouvoir montrer que ça marche avec

[Pseuda]

Je me demande s'il n'y a pas plus simple, (mais il est préférable en effet de couper les intervalles en [n-1/2, n+1/2]). On doit pouvoir simplement montrer que la fonction (cos^2(pi*x))^(x^2) est un O(1/x^2).

[Yezu]

Rebonjour tout le monde!

Merci encore pour tous vos conseils !

Mais je dois vous avouer quelque chose, je ne comprends pas grand chose à tout ce que vous dîtes là ^^, la notation e(n), "O de...", les théorèmes que vous utilisez, etc. je ne les ai jamais vu, donc je préfère ne pas m'aventurer en terrain inconnu.

Concernant ma fonction en triangle, j'aurais une question :

Je ne comprends pas bien comment définir la fonction : j'ai bien déterminer l'équation de chaque droite sur les intervalles (n- (1/2)^n, n+(1/2)^n); mais justement ces équations dépendent de n et de x. De même pour expliquer que le phénomène se répand jusqu'à l'infini, comment le manifester d'un point de vue équationnel ?

Je pensais faire un truc du style :
f(x) = 0 si x n'est pas dans les intervalles dépendant de n
mais là pour les deux autres conditions je calle, sachant qu'il y a une infinité de droite, je ne vois pas comment l'exprimer.
Une somme d'équations sur les intervalles en question ?

Merci encore.

[pascal16]

Il y a aussi la fonction créée de toute pièce façon fractale :

La série f(n) pour n allant de 0 allant à l'infini diverge
posons f(n) = 1

l'integrale de f(x) pour x allant de 0 à l'infini converge.
posons f définie sur [n-1/2;n+1/2] par
_ sur [n-1/n²;n] : f(n-1/n²)=0, f(n)=1, f affine
_ sur [n;n+1/n²] : , f(n)=1, f(n+1/n²)=0 f affine
_ 0 ailleurs
la surface de chaque petit triangle fait : 1*(1/n²+1/n²)/2 = 1/n²
l'intégrale converge.
f continue (affine par morceaux avec un point en commun à chaque fois)

c'est moins dérivable que le cosinus, mais on peut passer à de l'exp(-(x-n)²) avec un raccord en n-1/n² aussi, et on peut créer du continu infiniment dérivable strictement positif.

[Ben314]

Je pensais faire un truc du style :
f(x) = 0 si x n'est pas dans les intervalles dépendant de n
mais là pour les deux autres conditions je calle, sachant qu'il y a une infinité de droite, je ne vois pas comment l'exprimer.
Une somme d'équations sur les intervalles en question ?

Dans des cas pareil, ben on fait... comme on peu.. pour expliquer qui est la fonction f :
- Soit "en Français" comme tu le fait : si c'est compréhensible et sans ambiguïté, c'est tout ce qu'il y a de plus autorisé.
- A l'aide d'un dessin de la courbe où on trace les deux ou trois premier triangles puis des pointillés (pour signifier qu'on va "plus loin" puis un triangle "générique" autour d'un entier nommé "n" (à mon avis dans un cas pareil, c'est de très loin la meilleure solution).
- Soit avec une fonction définie "par cas" :

Souvent les étudiants (voire les profs. (*) ) privilégient la 3em solution qui fait "plus sérieuse", mais à mon sens, c'est pas forcément malin : déjà, les équations des segments de droite, quasi systématiquement, on s'en fout pour faire les calculs qui suivent et en plus sur cette représentation calculatoire, il n'est pas évident que le fonction est continue alors qu'avec le dessin où "en français" (où on écrit "le segment reliant (?,?) à (?,?)) la continuité est évidente.

(*) Coté prof, il y a aussi le fait que c'est moins long et moins chiant de taper du texte dans un sujet que de faire un dessin et de l'insérer dans le texte donc une solution souvent employé, c'est de mettre la fonction sous la "forme 3" (fonction définie par cas) et de poser comme première question "représenter la courbe"... (tous des feignants...)

EDIT : sinon, les truc dont on cause concernant le (cos(x)) exposant ???, c'est juste "pour le fun" d'essayer de trouver une fonction définie "par une unique formule" f(x)=... et pas définie par cas.
Mais si le but c'est de comprendre pourquoi il est possible que la série diverge alors que l'intégrale converge, la fonction "en triangle", c'est "très beaucoup mieux" comme exemple.

[Ben314]

On doit pouvoir simplement montrer que la fonction (cos^2(pi*x))^(x^2) est un O(1/x^2).

Si tu vire pas des (petits) intervalles autour des points entiers, alors c'est "carré carré", ta fonction f elle est O(1) et c'est tout vu qu'elle prend la valeur 1 en tout point entier...

[Elias]

Et si on veut pas s'embêter à trouver l'expression de la fonction affine sur chaque intervalle en fonction de n (même si c'est plutôt direct), on peut dire :
- sur l'intervalle [?;?], f est la fonction affine qui vérifie f(machin)= truc et f(bidule)= chose (même si ça revient à dire en français "on relie les segments blablabla").

[pascal16]

pour forcer la convergence sans se fatiguer, on peut changer (cos^2(pi*x))^(x^2) en (cos^2(pi*x))^(Vn^2)
où Vn, vérifie

[Pseuda]

@Yezu En d'autres termes, pour montrer que l'intégrale converge (l'aire des petits triangles), calcule l'aire d'un triangle en fonction de n, et fait la somme pour n allant de 1 à +oo. Il faut que tu choisisses la base des triangles qui fait que la somme converge et qu'elle soit calculable facilement.

@Ben314 En effet, il faut couper comme vu avant.

[Yezu]

Merci beaucoup pour toutes vos réponses encore.

J'ai pu terminer l'exercice!

Bonne soirée,