Nombre entier

[alice02]

Déterminer toutes les paires
d'entiers positifs et tels que

est un nombre entier.

[nodgim]

Simplifiable en ( 3^(m-1) + 1 ) / 2^(n-1)

Les puissances de 3 modulo 8 sont 3 ou 1. En ajoutant 1, ça donne 4 ou 2. Donc pas d'entier à partir de n = 4.

Reste :
(m > 0 , 0) ; (m > 0 , 1 ) ; (m > 0 , 2) ; ( m pair > 0 , 3)

[vieuxpepe]

comment peux-t-on affirmer qu'au delà de n=2 , (3^m + 1) n'est pas divisible par (2^n) ?
Je pense qu'il faut d'abord démontrer que pour un n >= 3 les valeurs de congruence se répètent tous les
(2^(n-2)) d'une part et ensuite que pour un m donné, les valeurs de congruence restent constantes ou
augmentent quand n devient (n+1) .

[Ben314]

Salut

...il faut d'abord démontrer que pour un n >= 3 les valeurs de congruence se répètent tous les (2^(n-2))...

Ben justement, ça, c'est bien ce qu'écrit nodgim : les "valeurs de congruence" de 3^m modulo 8, c'est bien évidement 1 et 3 (qui se répètent) vu que 3²=9=1=3^0 modulo 8.
Et c'est suffisant pour en déduire que 3^m+1 n'est jamais divisible par 8 (une fois sur deux il est congru à 2 modulo 8 et une fois sur deux il est congru à 4 modulo 8) et, à fortiori, n'est jamais divisible par une puissance de 2 avec un exposant supérieur ou égal à 3.