Si on appelle "segment" de Z/bZ les ensemble de la forme {x,x+1,x+2,..., x+k} (mod b) avec 1<k<b-1 (donc ni réduit à un élément ni les contenant tous sauf un) alors le complémentaire d'un segment est aussi un segment.
Comme a est premier avec b, l'application F:x->ax de Z/bZ dans Z/bZ est bijective.
Donc si l'image par F du segment {1,2,...,k} (1<k<b-1) est un segment alors celle du segment {k+1,k+2,...,b-1,0} (complémentaire de {1,2,...,k}) est aussi un segment (le complémentaire de l'image de {1,2,...,k}).
On en déduit qu'il existe un segment de cardinal
dont l'image par F est un segment.
Or, vu que la "distance" (en terme de nombre de +1 ou bien de -1 qu'il faut faire dans Z/bZ) entre un multiple de a et le multiple de a suivant est
, en considérant des multiples successifs de
de
à
, on est sûr qu'un des multiple va passer dans le complémentaire du segment de cardinal
(en utilisant bien sûr le fait que a est différent de
)
Je sais pas si c'est clair...